Σ Blog

L’altre dia llegint un llibre, vaig veure aquest que definia el mcd(a,b) com “el màxim comú divisor estrictament positiu de a i de b si a i b eren tots dos distints de zero i 0 altrament”.

Me va sorprendre aquesta definició i vaig intentar justificar-la (òbviament el cas que algun dels arguments fos zero) de dues maneres:

1. Amb la definició de divisor comú

Donats , podem definir que c és un divisor comú de a i de b c és un divisor de a i c és un divisor de b simultàniament, i.e. i per alguns (nota: aquesta és la definició més general de divisor. Hi ha altres definicions que exigeixen que c sigui distint de zero, per a què el concepte de divisor en la divisor entera i aquest concepte coincideixin. Ara bé, si elegim que c sigui distint de zero, aleshores no hi ha una correspondència entre múltiples i divisors d’un nombre).

Per tant, tenim que donats, a, b sencers, podem definir el conjunt de divisors de a i b com

I per tant, definir el màxim comú divisor de a i de b com:

Aleshores si a no és zero, el mcd(a,0) és igual a

(ja que qualsevol nombre és divisor de zero)

i

que no existeix

Per tant, amb una definició raonable del mcd, arribem a la conclusió de què mcd(0,a) = a si a no és zero i que mcd(0,0) no existeix.

2. Amb un poc d’àlgebra (ideals amagats)

Ara bé, facem servir un poc d’Àlgebra.

Notem per ,  i de forma més general

O sigui és l’ideal general pel conjunt a

Es pot veure que donats a, b enters, tenim que:

Si b =0 i a no és zero, tenim que (a, 0) = (a). Per tant, el mcd(0,a) hauria de ser a.

Si a i b són zero, llavors, (0,0) = {0} = (0). Per tant, el mcd(0,0) hauria de ser 0.

Conclusions

Aleshores, amb tot, trec que:

1. una bona definició per  mcd(0,a) seria a
2. una bona definició per mcd(0,0) seria 0
3. El llibre “s’equivocava”: de totes totes el mcd(0,a) no és zero (tenc dos arguments per demostrar divergències amb aquesta definició).

Algú més s’atreveix a donar un altra argument? Per favor, animeu-vos!

Hola. Avui he anat a cercar la penúltima entrega (crec) de la colecció “Desafíos Matemáticos“. Estic de feina fins a dalt però mai me puc resistir a obrir els llibres per qualque pàgina i pegar-los una ullada.

Un d’ells es titula “Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas” de l’autor Martin Gardner, conegut sens dubta pels amants de l’anomenada matemàtica recreativa. He vist que un des seus capítols tracta els nombres negatius, dels quals ja hem estat parlant per aquí qualque ocasió (per exemple). M’ha semblat un capítol interessant i recomanable. Vos cit textualment tres coses:

El capítol comença amb un fragment de l’obra “A tale of Star-Crossed Lovers” d’Irving E. Fang:
“Mucho se nos parecen los de Negatierra.
Prefieren sus estudiantes las notas negativas.
Y trinan y protestan si sacan más de cero.
Nadie es Tomás (aunque sí Tomenos); y en esas tierras,
para el bolsillo es mascabo
ir de tiendas o comprar en el mercado.”

Després recull una rima escolar citada per l’autor W. H. Auden que diu:
“Menos por menos da más;
sin discusión así lo aceptarás.”

I finalment un acudit d’aquests tan dolents que feim els matemàtics:

“Esto era un individuo con una personalidad tan negativa que, cuando asistía a una fiesta, los invitados, mirando perplejos en torno a sí, preguntaban: ¿Quién se ha ido?”

Ja dic, un capítol interessant on, a més del que ja vos he dit, ens parla de vaques negatives i vaques fantasmes… i de situacions amb negatius que quan volem contextualitzar molt de pics no feim més que coses sense sentit.

Salutacions,
Félix.

Fa poc temps vaig trobar la web de Carlos Ivorra, un professor de la Universitat de València, on s’hi pot trobar tota una sèrie de llibres de Matemàtiques en PDF (enllaç). Hi ha llibres de diverses temàtiques: Lògica i Teoria de Conjunts, Probes de consistència, Anàlisi no estàndard, Àlgebra, Geometria, Anàlisi, Funcions de variable complexa, Teoria de nombres, Teoria de cossos de classes, Topologia Algebraica, Geometria Algebraica, Corbes el·líptiques, Àlgebra homològica i commutativa i Teoria d’esquemes.

Jo encara no he aconseguit tenir el temps suficient per llegir qualque llibre amb deteniment. Si qualcú li interessa i ho fa ens podria deixar un comentari per aquí i dir-nos que l’ha parescut.

Feliç 2008.

Ei!, furgant un poc per la Web, he trobat un bon llibre de Topologia disponible lliurement en format pdf (en anglès o rus):

1. O.Ya.Viro, O.A.Ivanov, V.M.Kharlamov, N.Y.Netsvetae. “Elementary Topology. Textbook in problems“

Tracta la topologia general i un poc de topologia algebraica. Prengueu nota els que vos serveixi.

Per Nadal, me vull fer un autoregal: un bon llibre sobre corbes el·líptiques i formes modulars. Per això vos demanan si en sabeu d’algun. I que sigui accessible (ja sabeu el nivell i què hem vist de mates a la carrera; per favor que no comenci amb la teoria de Iwasawa directament; no vull res tan avançat. Una cosa com què són, la representació de Weirestrass, etc.)

Gràcies

Actualització: havia pensat, per ordre de preferència en:

1. [1] Arithmetic of Elliptic Curves. Silverman. Springer. 65$. 400 p
2. [2] Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Tom M. Apostol. Springer. 70$. 206p.
3. [3] A First course in modular forms. Fred Diamond. Springer. 70$. 436 p.
4. [4] Modular forms. Toshitsune Miyake. Springer. 70$. 335p
5. [5] Arithmetic Algebraic Geometry. Ed. Brian Conrad. American Mathematical Society bookstore. 79$. 569p
6. [6] Elliptic curves. Function Theory, Geometry, Arithmetic. Henry McKean. Cambridge university press. Lliures 26. 281 p.

L’altre dia em va arribar el llibre “El prodigio de los números” de Clifford A. Pickover, que pertany a aquella col·lecció que fa cosa d’un mes vos vaig comentar: “Desafíos Matemáticos“.

Als amants del misteri vos agradarà saber que aquest llibre té una dedicatòria especial. No està dedicat a cap persona sinó a un quadrat màgic de 6×6 molt especial anomenat apocalíptic.

Què té d’especial aquest quadrat màgic? Doncs, només està format per nombres primers (li dona més misticitat) i el nombre resultant de sumar qualsevol fila, qualsevol columna, qualsevol diagonal o qualsevol diagonal quebrada (al dibuix n’he assenyalada una) és 666 (el nombre de la Bèstia).

Què és un histograma? És el mateix que un diagrama de barres?

Sembla que no tots tenim clar quina és la resposta. I si un comença a consultar llibres de secundària, d’universitat, Internet… acabam d’embullar-nos, perquè cadascú diu la seva.

A continuació pos els gràfics que crec són correctes:

Diagrama de barres: idoni per representar gràficament les dades d’una variable quantitativa discreta (o qualitativa). Les modalitats de la variable es representen a l’eix X i s’aixeca una barra d’altura igual a la freqüència de cada modalitat.

L’elecció de l’eix X per les modalitats i l’eix Y per les freqüències és arbitrària i no és estrany veure diagrames amb les modalitats a l’eix Y.

Histograma: s’utilitza per representar gràficament les dades d’una variable contínua (o quantitativa discreta amb moltes modalitats), que han estat agrupades en (intervals de) classes. A un eix (X) representam les classes, tenint en compte l’amplitud dels intervals, i a l’altre eix (Y) aixecam un rectangle d’àrea igual a la freqüència de la classe.

Una de les utilitats de l’histograma és poder veure de quina manera es distribueixen les dades (distribució de la variable). I com ja hem dit, als histogrames, a diferència dels diagrames de barres, no és l’altura el que determina la freqüència de cada classe, sinó l’àrea del rectangle. I això ho fan malament a molts de llibres de secundària. Si tots els intervals tenen la mateixa amplitud no hi ha problema, però si no és així i agafam una definició d’histograma que digui que hem d’aixecar un rectangle d’altura igual a la freqüència, llavors això no és un histograma (és una mena de diagrama de barres per a variables quantitatives contínues) i no ens serveix per veure la distribució de la variable.

No sé on radiquen les causes de la confusió però cal que almanco les institucions educatives, els docents i els llibres de text ho tinguin clar i deixin de confondre la gent. Vos anim a que pegueu una ullada als llibres de text que estau emprant a classe.

Per altra banda, “histogrames” com aquest, fet pel programa Excel (Anàlisi de dades), no ajuden molt a esclarir el tema:

Aquest és el resultat si demanam a Excel que faci un gràfic de barres (columnes) de les mateixes dades ja agrupades en intervals:

Quina és la diferència?

Aquesta definició ja m’agrada una mica més.

Tothom sap que la majoria de llibres vénen amb una nota de copyright que bàsicament diu que per fer qualsevol cosa (tota reproducció, enmagatzament, distribució, traducció, etc.), excepte potser regalar-lo ;-), has de demanar permís a l’editorial.

Doncs bé hi ha grates excepcions:

• “Functional equations in applied sciences“, de l’editorial Elsevier, llibre del qual he escanejat la portada i el copyright
• “1st Order Logic Formal Concept Analysis: from logic programming to theory“de l’editorial Linköping, del qual he escanejat el copyright

Pel nom del títol molt poca gent sap qui és. Però si utilitzam el seu pseudònim, Lewis Carroll, ja és una altra cosa. I per si qualcú encara va perdut és suficient amb mencionar la seva obra literària més coneguda “Alice’s Adventures in Wonderland” (Alicia al país de les meravelles). No és la seva única obra literària, però això ara no ens ocupa. Com a personatge històric és molt peculiar i hi ha molta de llegenda que l’envolta. A més d’escriptor era sacerdot anglicà, fotògraf… i el que ara sí ens ocupa, també matemàtic.

A més de recomanar-vos la lectura de “Alicia al país de les meravelles” (oblidau-vos abans d’aquella adaptació de Disney i vos avís que pot arribar a ser un mica paranoic), comentaré dos llibres seus que vaig comprar, un fa cosa d’un any i l’altre fa uns quants dies, aquests de caràcter molt més matemàtic. Quan un comença a llegir Lewis Carroll no triga molt en adonar-se que era una ment privilegiada, encara que sembla que acostumava a fer ús de la modèstia.

El primer llibre es titula “Matemática Demente” (observau el joc de paraules en castellà), de “Tusquets Editores”. És una selecció d’històries amb un cert humor intel·lectual. A cada historieta podem trobar jocs on hem d’utilitzar la lògica o situacions que plategen un problema que hem de resoldre. Em va cridar molt l’atenció que comences a llegir com si fos un relat literari i acabes de llegir la historieta (després d’haver pensat un parell d’entreteniments que et trobes pel camí) i molt de pics no saps ben bé quin és l’enigma que has de resoldre. És a dir, la majoria de situacions problemàtiques que ens presenten diàriament són situacions on el problema està clarament definit i tenim que donar resposta a una pregunta. En aquest llibre molt de pics has de pensar per arribar a saber quin problema hi ha, quina és la pregunta que t’has de fer.

L’altre llibre es titula “Problemas de almohada”, de “Nivola libros y ediciones”. Aquest és una recopilació de 72 problemes matemàtics que Lewis Carroll resolia al llit, abans d’anar a dormir, només mentalment sense utilitzar paper ni cap instrument que no fos el seu cap. Per exemple, el problema nombre 2 diu: “En un triangle donat, traçar una línia paral·lela a la base de manera que les longituds dels segments dels costats interceptats entre aquesta i la base siguin, sumades, iguals a la longitud de la base”. Intentau fer-ho només amb figures mentals. Hi podem trobar problemes d’àlgebra, geometria, aritmètica, trigonometria…

Salutacions,

Félix.

He posat a disposició vostra tot un seguit de llibres que tenc i que me’n vull desfer. Si algú els vol, que m’ho digui i estaré encantat de donar-los-hi:

• Autors: Javier Torre de Silva y López de Letona
  Títol: “Internet, propiedad industrial y competencia desleal”
  Ed.: Centro de Estudios Políticos y Constitucionales.
  ISBN: 84-259-1182-6
• Autors: Anatoly G. Gorshkov. Dmitry V. Tarlakovsky
  Títol: “Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies”
  Ed.: Springer
  ISBN: 3-540-42151-3
  Referències: [1]
• Autors: David A. Vise. Mark Malseed
  Títol: “Google, la historia. Los secretos del mayor éxito empresarial mediático y tecnológico de nuestro tiempo”
  Ed.: La Esfera de los Libros
  ISBN: 84-9734-566-5
  Referències: [2]

En aquesta pàgina posaré altres coses per donar o canviar