Σ Blog

És un tema molt antic dins la didàctica de la matemàtica però sembla que encara hem d’anar recordant-lo. Avui he trobat el següent vídeo d’un fragment d’una comunicació que va fer el Dr. Adrian Paenza, autor de molts de llibres de divulgació de les matemàtiques, com per exemple el best seller “Matemática, ¿Estás ahí?“. [“Episodio 2″, “Episodio 3,14″i “Episodio 100″]
Video: http://www.youtube.com/watch?v=p9mg0pwixyQ

El pròleg del seu darrer llibre de la col·lecció “Matemática, ¿estás ahí?”, es titula “Miedo a la matemática”, i recoman la seva lectura perquè és una invitació a la reflexió amb una dosis de ironia. El podeu consultar a l’enllaç del llibre corresponent o al següent:
http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-109931-2008-08-19.html

Fa un any aproximadament vaig compartir amb vosaltres un enllaç a una web de Carlos Ivorra on podíem trobar llibres de matemàtiques, a nivell universitari.
Fa unes setmanes vaig trobar aquesta altra web: www.elibros.cl
Dins la categoria de Matemàtiques podem trobar molts de llibres, destacant la famosa col·lecció de llibrets de l’editorial MIR. L’inconvenient és el mètode de descàrrega, mitjançant Rapidshare, que encara que és gratuïta té un nombre limitat de descàrregues per temps.
Si algú s’entreté i davalla tots els llibres ja em passarà el CD :-p

L’altre dia llegint un llibre, vaig veure aquest que definia el mcd(a,b) com “el màxim comú divisor estrictament positiu de a i de b si a i b eren tots dos distints de zero i 0 altrament”.

Me va sorprendre aquesta definició i vaig intentar justificar-la (òbviament el cas que algun dels arguments fos zero) de dues maneres:

1. Amb la definició de divisor comú

Donats , podem definir que c és un divisor comú de a i de b c és un divisor de a i c és un divisor de b simultàniament, i.e. i per alguns (nota: aquesta és la definició més general de divisor. Hi ha altres definicions que exigeixen que c sigui distint de zero, per a què el concepte de divisor en la divisor entera i aquest concepte coincideixin. Ara bé, si elegim que c sigui distint de zero, aleshores no hi ha una correspondència entre múltiples i divisors d’un nombre).

Per tant, tenim que donats, a, b sencers, podem definir el conjunt de divisors de a i b com

I per tant, definir el màxim comú divisor de a i de b com:

Aleshores si a no és zero, el mcd(a,0) és igual a

(ja que qualsevol nombre és divisor de zero)

i

que no existeix

Per tant, amb una definició raonable del mcd, arribem a la conclusió de què mcd(0,a) = a si a no és zero i que mcd(0,0) no existeix.

2. Amb un poc d’àlgebra (ideals amagats)

Ara bé, facem servir un poc d’Àlgebra.

Notem per ,  i de forma més general

O sigui és l’ideal general pel conjunt a

Es pot veure que donats a, b enters, tenim que:

Si b =0 i a no és zero, tenim que (a, 0) = (a). Per tant, el mcd(0,a) hauria de ser a.

Si a i b són zero, llavors, (0,0) = {0} = (0). Per tant, el mcd(0,0) hauria de ser 0.

Conclusions

Aleshores, amb tot, trec que:

1. una bona definició per  mcd(0,a) seria a
2. una bona definició per mcd(0,0) seria 0
3. El llibre “s’equivocava”: de totes totes el mcd(0,a) no és zero (tenc dos arguments per demostrar divergències amb aquesta definició).

Algú més s’atreveix a donar un altra argument? Per favor, animeu-vos!

Hola. Avui he anat a cercar la penúltima entrega (crec) de la colecció “Desafíos Matemáticos“. Estic de feina fins a dalt però mai me puc resistir a obrir els llibres per qualque pàgina i pegar-los una ullada.

Un d’ells es titula “Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas” de l’autor Martin Gardner, conegut sens dubta pels amants de l’anomenada matemàtica recreativa. He vist que un des seus capítols tracta els nombres negatius, dels quals ja hem estat parlant per aquí qualque ocasió (per exemple). M’ha semblat un capítol interessant i recomanable. Vos cit textualment tres coses:

El capítol comença amb un fragment de l’obra “A tale of Star-Crossed Lovers” d’Irving E. Fang:
“Mucho se nos parecen los de Negatierra.
Prefieren sus estudiantes las notas negativas.
Y trinan y protestan si sacan más de cero.
Nadie es Tomás (aunque sí Tomenos); y en esas tierras,
para el bolsillo es mascabo
ir de tiendas o comprar en el mercado.”

Després recull una rima escolar citada per l’autor W. H. Auden que diu:
“Menos por menos da más;
sin discusión así lo aceptarás.”

I finalment un acudit d’aquests tan dolents que feim els matemàtics:

“Esto era un individuo con una personalidad tan negativa que, cuando asistía a una fiesta, los invitados, mirando perplejos en torno a sí, preguntaban: ¿Quién se ha ido?”

Ja dic, un capítol interessant on, a més del que ja vos he dit, ens parla de vaques negatives i vaques fantasmes… i de situacions amb negatius que quan volem contextualitzar molt de pics no feim més que coses sense sentit.

Salutacions,
Félix.

Fa poc temps vaig trobar la web de Carlos Ivorra, un professor de la Universitat de València, on s’hi pot trobar tota una sèrie de llibres de Matemàtiques en PDF (enllaç). Hi ha llibres de diverses temàtiques: Lògica i Teoria de Conjunts, Probes de consistència, Anàlisi no estàndard, Àlgebra, Geometria, Anàlisi, Funcions de variable complexa, Teoria de nombres, Teoria de cossos de classes, Topologia Algebraica, Geometria Algebraica, Corbes el·líptiques, Àlgebra homològica i commutativa i Teoria d’esquemes.

Jo encara no he aconseguit tenir el temps suficient per llegir qualque llibre amb deteniment. Si qualcú li interessa i ho fa ens podria deixar un comentari per aquí i dir-nos que l’ha parescut.

Feliç 2008.

Ei!, furgant un poc per la Web, he trobat un bon llibre de Topologia disponible lliurement en format pdf (en anglès o rus):

1. O.Ya.Viro, O.A.Ivanov, V.M.Kharlamov, N.Y.Netsvetae. “Elementary Topology. Textbook in problems“

Tracta la topologia general i un poc de topologia algebraica. Prengueu nota els que vos serveixi.

Per Nadal, me vull fer un autoregal: un bon llibre sobre corbes el·líptiques i formes modulars. Per això vos demanan si en sabeu d’algun. I que sigui accessible (ja sabeu el nivell i què hem vist de mates a la carrera; per favor que no comenci amb la teoria de Iwasawa directament; no vull res tan avançat. Una cosa com què són, la representació de Weirestrass, etc.)

Gràcies

Actualització: havia pensat, per ordre de preferència en:

1. [1] Arithmetic of Elliptic Curves. Silverman. Springer. 65$. 400 p
2. [2] Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Tom M. Apostol. Springer. 70$. 206p.
3. [3] A First course in modular forms. Fred Diamond. Springer. 70$. 436 p.
4. [4] Modular forms. Toshitsune Miyake. Springer. 70$. 335p
5. [5] Arithmetic Algebraic Geometry. Ed. Brian Conrad. American Mathematical Society bookstore. 79$. 569p
6. [6] Elliptic curves. Function Theory, Geometry, Arithmetic. Henry McKean. Cambridge university press. Lliures 26. 281 p.

L’altre dia em va arribar el llibre “El prodigio de los números” de Clifford A. Pickover, que pertany a aquella col·lecció que fa cosa d’un mes vos vaig comentar: “Desafíos Matemáticos“.

Als amants del misteri vos agradarà saber que aquest llibre té una dedicatòria especial. No està dedicat a cap persona sinó a un quadrat màgic de 6×6 molt especial anomenat apocalíptic.

Què té d’especial aquest quadrat màgic? Doncs, només està format per nombres primers (li dona més misticitat) i el nombre resultant de sumar qualsevol fila, qualsevol columna, qualsevol diagonal o qualsevol diagonal quebrada (al dibuix n’he assenyalada una) és 666 (el nombre de la Bèstia).

Què és un histograma? És el mateix que un diagrama de barres?

Sembla que no tots tenim clar quina és la resposta. I si un comença a consultar llibres de secundària, d’universitat, Internet… acabam d’embullar-nos, perquè cadascú diu la seva.

A continuació pos els gràfics que crec són correctes:

Diagrama de barres: idoni per representar gràficament les dades d’una variable quantitativa discreta (o qualitativa). Les modalitats de la variable es representen a l’eix X i s’aixeca una barra d’altura igual a la freqüència de cada modalitat.

L’elecció de l’eix X per les modalitats i l’eix Y per les freqüències és arbitrària i no és estrany veure diagrames amb les modalitats a l’eix Y.

Histograma: s’utilitza per representar gràficament les dades d’una variable contínua (o quantitativa discreta amb moltes modalitats), que han estat agrupades en (intervals de) classes. A un eix (X) representam les classes, tenint en compte l’amplitud dels intervals, i a l’altre eix (Y) aixecam un rectangle d’àrea igual a la freqüència de la classe.

Una de les utilitats de l’histograma és poder veure de quina manera es distribueixen les dades (distribució de la variable). I com ja hem dit, als histogrames, a diferència dels diagrames de barres, no és l’altura el que determina la freqüència de cada classe, sinó l’àrea del rectangle. I això ho fan malament a molts de llibres de secundària. Si tots els intervals tenen la mateixa amplitud no hi ha problema, però si no és així i agafam una definició d’histograma que digui que hem d’aixecar un rectangle d’altura igual a la freqüència, llavors això no és un histograma (és una mena de diagrama de barres per a variables quantitatives contínues) i no ens serveix per veure la distribució de la variable.

No sé on radiquen les causes de la confusió però cal que almanco les institucions educatives, els docents i els llibres de text ho tinguin clar i deixin de confondre la gent. Vos anim a que pegueu una ullada als llibres de text que estau emprant a classe.

Per altra banda, “histogrames” com aquest, fet pel programa Excel (Anàlisi de dades), no ajuden molt a esclarir el tema:

Aquest és el resultat si demanam a Excel que faci un gràfic de barres (columnes) de les mateixes dades ja agrupades en intervals:

Quina és la diferència?

Aquesta definició ja m’agrada una mica més.

Tothom sap que la majoria de llibres vénen amb una nota de copyright que bàsicament diu que per fer qualsevol cosa (tota reproducció, enmagatzament, distribució, traducció, etc.), excepte potser regalar-lo ;-), has de demanar permís a l’editorial.

Doncs bé hi ha grates excepcions:

• “Functional equations in applied sciences“, de l’editorial Elsevier, llibre del qual he escanejat la portada i el copyright
• “1st Order Logic Formal Concept Analysis: from logic programming to theory“de l’editorial Linköping, del qual he escanejat el copyright