Blog d’en Cesc

Avui que no podia dormir i que el problema de recerca en el que estava pensant se’m resistia, me n’he adonat que es pot esbrinar quin és el teorema més important de qualque disciplina ja ben fonamentada, com per exemple l’anàlisi real, la teoria de grups, qualque cosa així. Es tractaria de valorar-ne els teoremes emprant l’algoritme PageRank.

M’explico. Prenem qualque llibre de text d’aquests francesos on les invocacions de resultats són ben clares. Per exemple, els matemàtics de la meva generació mai no podrem oblidar els llibres den Dieudonné d’anàlisi, amb demostracions fascinants de l’estil de “Aplicant 2.3.22 i 5.1.11, es de dedueix que f satisfà les hipòtesis de 4.3.75. Aplicant-lo, s’obté el resultat enunciat.” Els llibres de Bourbaki són més esquiterells encara. Amb paciència (o, si en tenim la versió electrònica, amb qualque script que detecti les cites; fa uns anys uns estudiants meus ho feren amb la constitució europea, era més fàcil tècnicament, però no conceptualment) s’extreuen totes les invocacions: cada resultat, quins resultats empra explícitament. Això ho representam com un graf dirigit, on un arc del resultat A al resultat B significa que B empra A.

Aquest graf hauria de ser acíclic, però segurament no ho serà, perquè si hem cercat les cites automàticament, sempre n’hi haurà que seran de l’estil “raonant com a …” o similars, i que no podem considerar un arc correcte. Quan haguem purgat a ma aquests arcs, hauria de quedar acíclic (o tenim un problema: un resultat que, a la llarga, s’empra a ell mateix per ser demostrat).

Ara valoram cada teorema pel seu grau de sortida (el nombre de vegades que és emprat) dividit pel seu grau d’entrada (el nombre de teoremes que empra) més 1 per a que no sigui 0. A continuació, tornam a valorar cada teorema, assignant-li la suma dels valors dels teoremes que l’empren, dividit pel mateix que abans. I repetim, i repetim. Això (amb algunes modificacions en les que no cal entrar en detall i que podreu trobar al vincle donat abans) convergeix molt ràpidament. I al final, els teoremes que tenen valors més alts, són els més importants.

És clar que per detectar la importància d’un resultat per exemple d’anàlisi, hauríem de mirar també llibres de text d’àrees properes (geometria complexa, topologia general, equacions diferencials,…), això ja dpendria de la paciència i els recursos. Per exemple, els Elements de Matemàtiques dels Bourbaki, que cobreixen moltes àrees i són interdependents i que procuren ser el més rigorosos possible (fins a l’horror), o els den Lang, que com a mínim són més bons de llegr (però no es tracta de llegir-los!) poden ser una bona opció.

Mmmmm, quin deu ser el resultat més important de l’àlgebra. A mem si trob qualque estudiant que ho vulgui fer com a PFC o TAD