Dmc 13 Jun 2007
Què és un nombre?
Enviat per Félix a la categoria General
Molts de vosaltres ja m’heu escoltat fer aquesta pregunta. Una de les coses que me varen xocar molt un cop acabada la Llicenciatura va ser que me varen fer aquesta pregunta i realment no tenc cap contestació que em satisfaci el suficient. Per trobar qüestions que poden comprometre a qualsevol matemàtic molt de pics no és necessari anar a teories sofisticades per a gent inexperta (sèries de Fourier, teoria de categories…). Ja sabem molts que de vegades la pregunta més simple pot ser una de les més difícils de contestar.
Ningú no pot dubtar que els nombres són una part molt important de les matemàtiques i que la feina amb ells és una tasca quotidiana i diària. Vos anim a que penseu una definició correcta de nombre i a ser possible que la poseu per aquí i així tots aprenem de la participació de tothom. Recordeu que una definició matemàticament correcta ha de ser necessària i suficient. Per això, una definició del tipus “és un objecte matemàtic” no és vàlida ja que hi ha molts d’objectes matemàtics que no els anomenam nombres.
Tal vegada la comunitat matemàtica té qualque definició que jo desconec o a la millor és molt més fàcil del que jo em pens… Què n’opinau?
Salutacions,
Félix.
14 Juny 2007 a les 5:03
Vaja quin repte!
Crec que realment és difícil definir-ho d’una manera global. A quin tipus de nombre ens referiríem? Ha d’englobar tots els tipus de nombres que coneixem naturals, enters, racionals, reals, imaginaris, quaternions, transfinits…? Cada un d’aquests conjunts és de definició rigorosa, matemàticament parlant, i les operacions que es poden fer amb ells també.
El problema gran és intentar trobar una definció de nombre que englobi tots, i no sigui una definició vaga, o que introdueixi, com dius tu, termes incomplets, o no exactes.
De tota manera, intentaré pensar alguna definició que me satisfaci mínimament!
Bona pregunta!
14 Juny 2007 a les 7:27
Jo me vaig fer aquesta pregunta (sense que ningú me la fes
i vaig arribar a la conclusió següent:
Possibilitat 1 (Cantor): cardinals
Possibilitat 2 (no inclou els transfinits): els N simplement són cardinals dels conjunts {1, …, n}. I després Z, Q, R són extensions algebraiques (en el sentit de què involucren l’àlgebra) de N. La pregunta del milió és si n té com a interpretació el cardinal de {1, …, n}. Com intenpretaríem -5 o 4,3 com a concepte provinent d’un conjunt?. Serà que els nombres racionals podríem venir com a cardinal de conjunts difosos?
Vos ho deix a l’aire.
18 Juny 2007 a les 11:08
Hola i primer de tot gràcies a tots dos per contestar.
Dani, jo ja em conformaria amb una definició de nombre que inclogui fins als complexes.
Xavi, efectivament aquesta que tu ens dius és la manera com es construeixen els conjunts numèrics a la teoria de conjunts. Però no em queda clar quina és la definició que proposa/proposes. Un nombre és el cardinal d’un conjunt? Crec que aquesta només engloba els naturals. O no? Per dir-ho d’una altra manera, és com si haguéssim de completar la frase: Un nombre és…
Salutacions,
Félix.
18 Juny 2007 a les 16:18
A la Viquipedia diu
i queden tan amples :). Si bé sabem que, com a matemàtics, aquesta definició es queda curta; també és cert que a molts ja li pot estar bé.
Aquesta “definició”, com a mínim, ens explica quina necessitat fa néixer el nombre: Contar les ovelles que tenc per no perdre’n cap, mesurar una habitació per no comprar una taula massa gran, etc…
El problema (o la màgia de tot plegat
) és que com a matemàtics no ens deixam convèncer tan fàcilment, si no partim d’axiomes i anam construint les coses no estam contents.
Sempre recordaré, però, una classe de Lògica I: Aquell dia tocava formalitzar la definició d’infinit -la necessitàvem per poder fer inducció i per poder definir bé els nombres Naturals-. El professor va explicar que no es podia demostrar que existia un conjunt infinit i que, per tant, necessitàvem un nou axioma, el d’infinitud: “Existeix al manco un conjunt infinit”.
Tot seguit el professor es va girar i digué: “Jo no me crec aquest axioma“(supòs que era ateu ;)); i va seguir la classe normalment. Aquell dia vaig saber que mai sabria una bona definició de nombre.