Dill 12 Nov 2007
Divisió entera vs Divisió exacta
Enviat per Félix a la categoria General
Fa un temps vaig fer un comentari d’una de les preguntes de matemàtiques del programa de televisió “¿Sabes más que un niño de Primaria?”. Ahir, després de molt de temps sense veure’l, vaig tornar a sentir una pregunta que me va estranyar. La pregunta va ser si 56 : 8 és una divisió entera.
Jo tenc entés que qualsevol divisió entre nombres naturals pot ser entera (sempre que no utilitzis decimals). Dins les divisions enteres es distingueixen dos tipus: divisió exacta (si el residu és 0) i divisió inexacta (si el residu no és 0).
Al programa no varen utilitzar aquestes definicions sinó que varen emprar el terme divisió entera com el contrari de divisió exacta. De fet, el concursant va dir que sí era una divisió entera i va perdre un comodí perquè segons el programa no és correcta.
Primer de tot vos deman la vostra opinió: quina definició creiu que és la correcta? I en cas que opineu el mateix que jo em sorgeix de nou la mateixa duda: si aquest concurs agafa les preguntes dels llibres de text, ensenyam els docents als nins coses que no són correctes a les classes de matemàtiques?
12 Novembre 2007 a les 5:25
Avui a la classe de matemàtiques de 4t d’ESO una alumna m’ha demanat si 56:8 era una divisió entera o exacta. Jo he suposat que la pregunta tenia relació amb el programa que anomenes. Jo no el sol mirar, però ella la setmana passada ja m’havia fet una pregunta relacionada amb les fraccions decimals.
Segons ella la divisió és exacta però també és entera perquè dóna un nombre enter.
Jo no he vist això de divisió entera (a ESO no l’explic!), però sí la terminologia d’arrel quadrada entera, per aquelles que no són exactes (arrels quadrades de nombres que no són quadrats perfectes).
12 Novembre 2007 a les 7:05
Hola Margalida. Primer de tot gràcies pel teu comentari.
Crec que la teva alumna té raó. Si no fos així, quin és el motiu de dir la paraula “entera”? Un motiu podria ser fixar-nos en el residu, però així i tot, què passa que 0 no és un nombre enter?
M’agradaria molt que em diguessis a quin llibre has vist emprar la terminologia d’arrel quadrada entera per aquelles que no són exactes. Faré una miqueta d’investigació als llibres de text que empram a les aules per veure si tothom ho fa igual o no (de moment els que he vist o no parlen de divisió “entera” o no deixen clara la seva definició).
13 Novembre 2007 a les 10:32
Hola Félix
A mi no m’agrada gaire que discutim per etiquetes, i ja ho he de fer massa sovint amb els meus estudiants, a qui cada professor de secundària li ha posat un nom diferent a una mateixa cosa i consideren que aquell nom te origen directament diví (i aleshores quan dues religions xoquen, ja veieu què passa). La darrera bronca l’he tinguda entre els partidaris de la matriu unitat, els de la matriu identitat i els de simplement I.
A la meva filla (li acab de demanar) li demanen “dividiu 56:6 donant quocient i remanent” o “dividiu 56:6 de manera exacta”, i ho trob assenyat (a la primera jo li diria “donau el quocient i el remanent de dividir …”, però bono, ja tornam a ser-hi amb les etiquetes!). És clar que així mai no podrà participar en concursos d’aquests i no em retirarà.
Per cert, a la divisió donant quocient i romanent no li dèiem euclidiana?
13 Novembre 2007 a les 15:51
Hola Cesc. Tens part de raó que discutir sobre etiquetes moltes de vegades és un debat inert. I he dit part de raó perquè consider que el cas que deman no és del mateix tipus que l’exemple que tu poses de la matriu unitat, identitat o I (on es tracta de diverses etiquetes per una mateixa cosa).
Crec que és un cas diferent perquè s’empra una mateixa etiqueta (”divisió entera”) per anomenar dues coses distintes (divisió sense decimals en un cas i divisió sense decimals amb residu no nul en l’altre). Això sí és un tema que s’ha de tractar perquè suposa un problema i confon la gent. Podem trobar dues persones que donada la divisió 56:8 una digui que és una divisió entera i l’altra que no ho és.
Després de veure el missatge de Margalida vaig llegir uns quants llibres per veure on apareixia el terme “arrel quadrada entera”. Crec que m’ha servit per descobrir la font de la confusió. En realitat el terme arrel quadrada entera és una mala interpretació de “la part entera” de l’arrel quadrada (amb decimals) d’un nombre. I el mateix passa amb la divisió, hi ha llibres que han agafat el terme “divisió entera” per referir-se a “la part entera” d’una divisió que te decimals. En tot cas, un estudiós de l’oblidada Història de les Matemàtiques ens podria aclarir moltes de coses.
I sí, aquest tipus de divisió també s’anomena euclidiana. Una altra etiqueta per una mateixa cosa (per mi cap problema).
14 Novembre 2007 a les 5:58
“Podem trobar dues persones que donada la divisió 56:8 una digui que és una divisió entera i l’altra que no ho és.”
Veus, Fèlix, el que em preocupa és aquesta frase: que es demani si es una divisió entera o no (etiqueta), en lloc de demanar si el remanent és 0 o no, si el quocient exacte és enter o no, el que sigui, i on estic bastant segur que les dues persones coincidirien. La discusió identitat (com a aplicació) versus unitat (element de l’anell) tampoc creguis que és tan futil, però això ja és ser primmirat, ho reconec.
I tenc un problema amb la divisió entera (ai!) versus l’euclidiana: li he demanat a ma filla que em divideixi -10 entre -4 donant quocient i romanent, i m’ha dit que -10=2*(-4)-2 (és a dir, ha multiplicat 10=2*4+2 per -1) en lloc de -10=3*(-4)+2, que correspondria a la divisió euclidiana de, diguem, primer de carrera.
A secundària ( i magisteri), quin és el remanent de dividir -10 per -4?
14 Novembre 2007 a les 8:26
Hola. Estan sortint coses molt interessants.
Primer de tot, a l’exemple que cites i que vaig posar, no es demana a ningú que digui si una divisió és entera o no. Són ells que ho diuen (perquè tenen un nom per anomenar aquesta divisió) i que no s’aclaririen perquè tenen la mateixa etiqueta per coses distintes. En part estic d’acord amb tu que preguntar si una divisió és entera o no, si només és aquest l’objectiu, no té massa sentit.
Però crec que són molt necessàries les etiquetes i per tant té la seva importància que s’emprin correctament i sense ambigüitats (i molt manco amb contradiccions). Per posar un exemple de la seva utilitat i que intenta seguir la mateixa filosofia que el que tu poses de demanar directament si el residu és 0 o no.
“Mirant una finestra, el mestre demana els nins: Això és una línia poligonal tancada de quatre costats que té tots els angles rectes?”
O podem demanar “Això és un rectangle?”
En aquest cas “rectangle” és una etiqueta per dir tot allò que deia el primer mestre (i encara així ha utilitzat moltes de etiquetes: línia poligonal, angle recte…)
Tal vegada, com tu dius, això ja és ser molt primmirat (però de vegades fa falta que qualcú ho sigui, no?)
Per altra banda, també estic d’acord amb tu que hi ha matisos importants en l’exemple de la matriu identitat.
I em sembla molt interessant el dubte que demanes: A secundària (i magisteri), quin és el remanent de dividir -10 per -4?
Jo te dic el que he vist sempre (per favor que qualcú ens digui si ho fa d’altra manera)
(-10):(-4) = (-10)/(-4) = 10/4 = 5/2 (i aquí s’acaba l’exercici)
És a dir, no es fan (jo no he vist el contrari) divisions amb enters que no siguin exactes (per tant no es demana residu) i, a cursos més avençats, quan sorgeix una divisió del tipus que poses es deixa en forma de fracció (que com els hi ensenyam que són nombres, és una solució “vàlida” [evidentment, no a la teva pregunta]).
Segueixo insistint que seguim un model d’ensenyament viciat pels procediments i que no presta atenció als conceptes ni a la contextualització. Què passa si posam als alumnes un problema contextualitzat on la resposta sigui el residu d’una divisió entre dos nombres negatius (o un positiu i un negatiu)? Creieu que ho resoldrien bé?
I, per altra banda, si no som capaços de trobar aquest problema contextualitzat, llavors per què els hi ensenyam aquestes coses?
14 Novembre 2007 a les 10:15
Fèlix,
òbviament tens tota la raó: les abreviatures (jejeje) són necessàries, si no no tindríem temps de dir tot el que volem dir. Crec que és imprescindible que conceptes diferents no tinguin la mateixa abreviatura per a gent diferent, com és imprescindible que tu i jo diguem tassó a la mateixa cosa, i no a dues coses diferents. També és convenient per a la bona comunicació, però ja no imprescindible, que tothom empri la mateixa abreviatura per a la mateixa definició. I protest, i supòs que tu també, si les abreviatures són excloents: per exemple, que si et mostren un quadrat i et demanen si és un rectangle i tu dius que sí, et posin malament perquè és un quadrat i això és “més” que un rectangle. Crec que la pregunta de la tele era d’aquest estil, amb el greuge que es referia a una etiqueta (ah! ja ho he dit!) ambígua.
Però mai no m’han agradat les llistes de definicions en pla catecisme, sense cap crítica i sense cap explicació de per què és necessari posar nom a aquelles coses. A això em referia quan deia que no m’agradaven les etiquetes. No ho sé, supòs que qualque trauma infantil (i crec que el Dieudonné d’anàlisi també hi té molt a veure). Al quadern de mates de la meva filla hi he vist posar nom a cada cosa que escarrufa!
Parlant de la divisió, si quatre amics deuen 10 Euros i només tenen monedes d’euro per pagar, i es reparteixen el deute a parts iguals, cadascú ha de pagar 2 euros i encara en deuen entre tots 2 més. Això correspondria a -10=(-2)*4-2. O poden posar cadascú 3 euros i en sobraran 2: -10=(-3)*4+2. Quina és la bona? No ho sé. Supòs que els nins han de trobar natural que si el dividend és negatiu, el que ha de sobrar és negatiu. És clar que a primer de carrera, quan mires de caracteritzar de manera única el remanent, es pren com a conveni que la bona és la segona.
No, no se m’acudeix cap exemple contextualitzat on s’hagi de dividir un nombre negatiu per un nombre negatiu.
14 Novembre 2007 a les 10:35
Hola una altra vegada. És una llàstima però ara sí que estic totalment d’acord amb tot el que dius (s’entengui la llàstima pel debat d’arguments)
Fins i tot m’has vist la intenció de posar l’exemple del rectangle per si després em donava joc per comentar el que tu has dit de les definicions excloents.
Quant al problema que poses podriem afegir que no es pot quedar part del deute sense pagar (ja sabem com són les màfies). D’aquesta manera t’asegures que la resposta bona sigui l’euclidiana.
A qualcú se li ocorr un problema on s’hagi de dividir un negatiu per altre negatiu? (o la versió suau seria dividir un positiu per un negatiu)
16 Gener 2008 a les 8:00
Veig que ja ho heu debatut prou. Però de fet jo he anat a parar a aquesta pàgina perquè tenia el mateix problema, no arrel del programa de televisió, sinó arrel d’un llibre acadèmic de 4rt de Primària de Matemàtiques.
Li dono classes de repàs a una noia de 4t de Primària i em va sobtar molt que el llibre donés com a definicions:
- Divisió exacta: aquella que té residu igual a zero.
- Divisió entera: aquella que té residu desigual a zero.
Jo quan vaig estudiar aquest terme de “divisió entera” li vam aplicar un altre significat. Però ara, pel que veig, li donen aquest nou significat. Si aneu al wikipèdia:
(http://ca.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3)
també trobareu que li donen el significat de residu desigual a zero.
16 Gener 2008 a les 9:27
Hola Ferran. Primer de tot gràcies per deixar el teu comentari. Veig que és un problema molt comú aquest.
Mentre que ningú faci una miqueta d’investigació per veure quan i on apareix aquesta nomenclatura segueixo pensant que han agafat el terme “divisió entera” per referir-se (malament) a “la part entera” d’una divisió que té decimals. Ja sabem que el fet que aparegui als llibres o a la wikipèdia no vol dir forçosament que sigui correcte.
Salutacions,
Félix.
19 Gener 2008 a les 4:21
Hola, com deveu haver vist si heu mirat una mica els llibres dels nostres alumnes de secundària molts anomenen divisió entera a aquella en que el divisor no cap un nombre exacte de vegades en el dividend i exacta aquella en la que cap un nombre exacte de vegades (1r d’ESO, editorial Cruïlla). Ara ho dic de memòria però crec que la definició que dóna Anaya al seu llibre de primer és semblant. En qualsevol cas tampoc m’agrada discutir excessivament en la nomenclatura.
Parlant del programa en qüestió, una vegada van demanar a una concursant quin angle formaven les agulles d’un rellotge a les 12:15 h, aquesta va dir que un angle recte i per sort, per ella, li van donar el resultat per vàlid. Això em va servir per fer pensar als meus alumnes la resposta correcta, que és, evidentment, un angle agut de 82′5 graus. Per sort, aquesta vegada es van equivocar en favor del concursant però van recordar-me un bon problema per fer pensar als meus alumnes.
Felicitats pels comentaris.