Dill 24 Des 2007
2008 és divisible per 8?
Enviat per Félix a la categoria General
És una qüestió molt senzilla. Basta dividir 2008 entre 8 i veure si el residu és 0.
Com que 8 és 2 · 2 · 2, una altra opció és fer la meitat de la meitat de la meitat i si sempre dona un nombre natural llavors el nombre és divisible per 8 (de vegades mentalment és més fàcil fer tres pics la meitat que dividir entre 8). Però això torna a ser dividir el nombre entre 8 (encara que sigui d’una altra manera).
Hi ha qualque altra forma per saber si un nombre és divisible per 8? Això se coneix amb el nom de criteri de divisibilitat (en aquest cas del 8). A tots els llibres de text de primària i secundària podem trobar (sense cap justificació) els criteris de divisibilitat del 2, del 3, del 5, del 10 (i amb sort algun més com el 9 o l’ 11).
Per aquells que no el saben (o no se’n recorden) intentem descobrir qualque criteri de divisibilitat per 8.
Sigui X un nombre que en base decimal l’escriuríem de la següent manera
X = ana(n-1)…a3a2a1a0 on cada ai és un dígit del 0 al 9 (inclosos)
En realitat això és una notació que empram per simplificar l’expressió
X = an · 10n + a(n-1) · 10(n-1) + … + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0
Recordem que hem dit que un nombre és divisible per 8 si el residu de la divisió entre 8 és 0. Per tant això és equivalent a dir que el nombre és congruent amb 0 (mòdul 8). (Nota: A partir d’ara algunes igualtats són congruències mòdul 8 )
Abans de veure la congruència mòdul 8 del nostre nombre vegem quina és la congruència mòdul 8 de les potències de 10:
10 = 2 ( ja que 2 és el residu de la divisió 10:8 )
102 = 100 = 4 ( ja que 4 és el residu de la divisió 100:8) [Corregit]
103 = 1000 = 0 ( ja que 1000 és divisible per 8 )
10m = 103 · 10m-3 = 0 · 10m-3 = 0 És a dir, tota potència de 10 major que 100 és divisible per 8.
Per tant, observem la congruència mòdul 8 del nostre nombre
X = an · 10n + a(n-1) · 10(n-1) + … + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0
= an · 0 + a(n-1) · 0 + … + a3 · 0 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 = a2 · 102 + a1 · 10 + a0
Així doncs hem deduït que un nombre és divisible per 8 si el nombre format per les seves tres darreres xifres (a2a1a0) és divisible per 8.
D’aquesta forma, el cas de 2008 és molt fàcil ja que només hem de comprovar si 008 = 8 és divisible per 8. També és molt fàcil saber si el nombre 6516874654684765463486800 és divisible per 8 només amb una ullada emprant el criteri de divisibilitat (en quest cas jo mentalment no arrib a fer la meitat d’aquest nombre 
)
PD1: El raonament seguit per arribar al criteri de divisibilitat del 8 és anàleg per criteris de divisibilitat de molts altres nombres. Qui vulgui pot demostrar els criteris que sempre ha utilitzat sense saber perquè i deduir d’altres que no són tan coneguts.
PD2: Des del meu punt de vista, llevat de la implementació d’algoritmes a ordinadors, l’objectiu dels criteris de divisibilitat ha de ser simplificar un càlcul que volem fer. Quan el criteri es torna més complex que la pròpia divisió no té cap sentit emprar-ho (per exemple el criteri de divisibilitat per 7)
PD3: També podíem haver dit que el criteri de divisibilitat del 8 és comprovar si 4 vegades la xifra de les centenes més dues vegades la xifra de les desenes més la xifra de les unitats (4 · a2 + 2 · a1 + a0) és divisible per 8, però s’aplica el que he dit a PD2. [Corregit]
24 Desembre 2007 a les 3:52
Un problema totalment al marge: trobar la posició a pi de la primera vegada que surt 2008 a pi.
Record que fa uns anys Google per fer la selecció de llocs de feina, va decidir proposar el problema de trobar el primer primer de 6 xifres a la successió dels dígits de pi.
Algú sap algun mètode per trobat la posició d’un nombre a pi? Tot va pensar que pi és un nombre normal i per tant aquesta posició sempre existiria, encara que no es sap si és normal o no.
27 Desembre 2007 a les 14:04
M’ha agradat aquest criteri de divisibilitat ;o) L’explicaré als meus al·lots. Si explicam el del 9, per què no el del 8? I practicar un poc això de fer la meitat de la meitat els anirà bé. (Estan fataaaaal de càlcul mental… Com jo mateixa… Però si puc fer alguna cosa perquè no tenguin aquesta mancança que molts de noltros varem tenir, ja anirà bé, no?)
28 Desembre 2007 a les 12:44
Un problema invers: donat un criteri de divisibilitats, trobar m enter que tengui aquest criteri
Per ser concrets: donat n = a_n….a_0 en base 10, agafem el criteri de que n és divisible per m sii a_n + a1+ a_0 és divisible per m. Quin m satisfan aquest criteri?
Existeixen per tots els criteris? Sospit que no: per exemple n divisible per m sii a_0^2 + a_n^2 és divisible per m …..
29 Desembre 2007 a les 4:53
Les congruències m’han quedat ja una mica arrovellades però és possible que 100 mod 8 = 4 en lloc de 6. Si és així, el criteri de divisibilitat per 8 podria ser mirar si a0+2a1+4a2 és divisible per vuit?
Està bé el que he dit???
29 Desembre 2007 a les 8:09
Hola Miquel. Tota la raó del món. Gràcies per la correcció.
17 Gener 2008 a les 12:26
Interessant i fàcil de demostrar aquest criteri de divisibilitat per 8 (és a dir per 23).
De primeres m’ha recordat al de divisibiitat per 4 (és a dir per 22): un nombre és divisible per 4 si el nombre format per les dues darreres xifres és divisible per 4.
Després he pensat en el criteri de divisibilitat per 2: quan la darrera xifra és divisible per 2. La veritat és que el pensament fa tanta via que no sé si he pensat abans la del 2 o la del 4, quedem-nos que les dues quasi a la vegada.
I la recurrència ens du a conjecturar: ¿un nombre és divisible per 2n si el nombre format per les n darreres xifres és divisibles per 2n? Sembla que sí, però aquestes coses convé deixar-les per a que tothom interessat ho comprovi o ho pensi.
PD: tal vegada no sigui massa pràctica ni útil la divissibilitat per 16, 32… però resulta interessant després de tants d’anys de parlar només del criteri de divisibilitat del 2 i del 4.
Bon any Félix.