Dmc 26 Mar 2008
Per què surten dos resultats distints?
Enviat per Félix a la categoria Batxillerat, Docència, General
Podem posar el següent problema per fer reflexionar sobre les integrals (per exemple a segon de Batxillerat):
Volem trobar la primitiva de la funció Tg(x)·sec2(x)
Per una part, fent el canvi de variable u=Tg(x) tenim (feu clic per veure la imatge) :
Per altra banda, si feim primer unes transformacions trigonomètriques i després el canvi u=cos(x) tenim (feu clic per veure la imatge):
Com pot ésser que la mateixa integral doni resultats distints?
26 Març 2008 a les 23:37
Em sembla un bon exemple per fer pensar en la constant K, que de vegades es té el mal costum de despreciar.
27 Març 2008 a les 8:37
Simplement per què no? Hi pot haver més d’una primitiva d’una funció.
Na Maria ho diu, la constant és la clau.
Félix, de veres ho demanaves o era una reflexió?
Xavi
27 Març 2008 a les 8:59
Hola Xavi. Creia que ho deixava clar amb la primera frase:
“Podem posar el següent problema per fer reflexionar sobre les integrals (per exemple a segon de Batxillerat)”
La qüestió va més enllà de simplement que hi pot haver més d’una primitiva. Es tracta de veure quina relació hi ha entre les diverses primitives d’una mateixa funció.
Està clar que la clau és la constant. Però vull anar més enllà. Quin significat té aquesta constant? Si representam gràficament una de les primitives, quina representació gràfica tenen la resta de primitives?
De vegades pensam que la constant és només un nombre que sumam a la funció primitiva F(x) + k i que la única diferència entre les primitives és aquest nombre del “terme independent” (per entendre’ns). A l’exemple que propòs no passa això sinó que l’expressió de l’altra forma de resoldre la integral no dona aparentment el mateix. I es tracta de justificar per què passa això.
27 Març 2008 a les 12:41
Perdona Félix per no haver-te entès.
Mmm… és interessant. Podràs donar la solució del problema en breu?
Gràcies
28 Març 2008 a les 8:45
Un problema anàleg: per què no posem la constant a les integrals definides. En rigor hauríem de aplicar el teorema de Barrow a F(x) +c, amb c constant i F una primitiva de f.