Blog d’en Xavi

Archive for Juliol 2007

Un problema matemàtic: mod alpha

28th Juliol 2007, 03:30 am

Tots els matemàtics coneixem la definició de mòdul:

Def: Siguin a, b, c tres nombres qualsevols. Direm que a és congruent amb b mòdul c, i ho escriurem $a \equiv b \mod c$ si, i només si, existeix $k \in \mathbb{N}$ tal que $a - b = k \cdot c$

Típicament a, b, c són nombres enters, però la definició es podria aplicar pels nombres reals (de fet sé que existeix tot una teoria de les Distribucions uniformement distribuïdes mòdul 1). La definició formal seria (és meva):

Def: Siguin a, b, c tres nombres reals qualsevols. Direm que a és congruent amb b mòdul c, i ho escriurem $a \equiv b \mod c$ si, i només si, existeix $k \in \mathbb{N}$ , ~~( $0 \leq k < c$~~ ) tal que $a - b = k \cdot c$ . ~~(La condició que la imposo per la unicitat de la congruència, encara que crec que no la necessit. Qualcú ho pot mirar?)~~

Bé, doncs resulta que tenc un problema matemàtic (potser trivial, no l’he pensat molt):

Conjectura: Sigui $\alpha \in \mathbb{R}$ . Aleshores
$\alpha$ és algebraic sii existeixen , nombres algebraics tals que $\alpha \equiv a \mod b$

És certa?. Penseu-ho!

De fet, crec que aquesta conjectura pot ser més forta:

Conjectura 2: Siguin $\alpha \in \mathbb{R}$ , $q \in \mathbb{R}$ un nombre algebraic. Aleshores
$\alpha$ és algebraic sii existeix un nombre algebraic tal que $\alpha \equiv a \mod q$

Categoria: reflexions, personal, matemàtiques | 7 comentaris

Alternatives al petroli

17th Juliol 2007, 11:51 am

Sempre que sentim parlar del petroli, de què d’aquí uns anys les reserves petroleres s’estingiran, l’efecte hivernacle, etc. l’únic que pensam és en substituir-lo només energèticament (segurament per energies renovables/fusió/fisió/hidrògen).

Però encara no he vist ningú que pensi com substituir-lo mol·lecularment: el petroli és la font del plàstic, que és present en tota la nostra vida. Si s’esgoten les reseves de petroli, quin substitut trobarem al plàstic? Si el substituim per metalls (ferro, etc.) tendrem el mateix problema a no ser que facem una política de reciclatge 100%, i per fusta, tendrem el problema d’haver de repoblar artifialment els boscos.

Algú se li occorr alguna alternativa?

Categoria: reflexions, personal | Comentari

Un efecte papallona considerable

13th Juliol 2007, 07:15 am

Després de veure els perills que es poden presentar a les costes de les Illes Balears, més que mai hem de ser conscients que depenem en un 80% del turisme. Alerta que si aquí passàs el mateix que a Galícia, tot el turisme, les segones residències dels estrangers, la pesca, tot acabaria amb la nostra economia i seriem com Extremadura o pitjor.

Alerta!

Categoria: reflexions, personal | Comentari

Amunt els Pointer Sisters

7th Juliol 2007, 12:01 pm

Després de que els meus antics alumnes de 4t fessin el vídeo de fi de curs, he cercat i he trobat el vídeo original.

Categoria: personal, docència | Comentari

Un possible camí per provar el teorema de Gauss (sobre n. triangulars)

6th Juliol 2007, 12:25 pm

Des de que vaig demanar-me sobre si hi havia una demostració elemental del teorema de Gauss, hi he reflexionat un poc i he arribat a la conclusió que potser hi podem provar com a corol·lari del Teorema de Lagrange sobre els quatre quadrats. D’aquest teorema hi ha moltes demostracions elementals (p.e. [1] o a [2]), per tant si aconseguissim una demostració elemental com a corol·lari d’aquest teorema ja estaria.

Un camí a seguir seria aquest:

Volem veure que $\forall n \geq 1$ , existeixen , , $j \geq 0$ tals que $n = \Delta(k) + \Delta(i) + \Delta(j)$
Això passa si i només si: $n = \frac{k (k+1)}{2} + \frac{i (i+1)}{2} + \frac{j(j+1)}{2}$ sii
Pel teorema de Lagrange, es pot posar com a la suma de quatre quadrats.
Pareix natural pensar que aquests quatre quadrats puguin ser , , i (encara que no té perquè passar ja que no és condició necessària)
Per tant si passàs que existissin tals que , , i , ja tendríem provat el teorema de Gauss.