« Un vídeo memorable
Amunt els Pointer Sisters »

Un possible camí per provar el teorema de Gauss (sobre n. triangulars)

6th Juliol 2007, 12:25 pm

Des de que vaig demanar-me sobre si hi havia una demostració elemental del teorema de Gauss, hi he reflexionat un poc i he arribat a la conclusió que potser hi podem provar com a corol·lari del Teorema de Lagrange sobre els quatre quadrats. D’aquest teorema hi ha moltes demostracions elementals (p.e. [1] o a [2]), per tant si aconseguissim una demostració elemental com a corol·lari d’aquest teorema ja estaria.

Un camí a seguir seria aquest:

  • Volem veure que \forall n \geq 1, existeixen k, i, j \geq 0 tals que n = \Delta(k) + \Delta(i) + \Delta(j)
  • Això passa si i només si: n = \frac{k (k+1)}{2} + \frac{i (i+1)}{2} + \frac{j(j+1)}{2} sii 2n = k^2 + i^2 + j^2 + k+ i +j
  • Pel teorema de Lagrange, 2n es pot posar com a la suma de quatre quadrats.
  • Pareix natural pensar que aquests quatre quadrats puguin ser k^2, i^2, j^2 i k + i +j (encara que no té perquè passar ja que no és condició necessària)
  • Per tant si passàs que existissin u, v, w, s tals que k^2 = u^2, i^2 = v^2, j^2 = w^2 i k+i+j = s^2, ja tendríem provat el teorema de Gauss.

Per tant, aquesta és la conjectura que crec que és certa (i que hem de provar):

Conjectura: “per a tots k, i, j \geq 0, existeixen u, v, w, s \geq 0 tals que:

k^2 = u^2, i^2 = v^2, j^2 = w^2 i k+i+j = s^2 “

Categoria: matemàtiques  |  Comentari (RSS)  |  Retroenllaç

2 comentaris

  1. Félix:

    Hola Xavi.
    Fa uns dies vaig trobar la demostració que va fer Gauss del teorema en qüestió. Jo també ho havia intentat fer transformant-ho en resultats equivalents (com que tot nombre parell es la suma dels productes de tres nombres i els seus consecutius [2n = a · (a+1) + b · (b+1) + c · (c+1)]). Però al final acava sent tan complicat com el resultat inicial. La demostració de Gauss l’he trobada al seu llibre Disquisitiones Aritmeticae i com que està en llatí estic esperant un dia que tingui una estona que me vegi amb ganes. Només dir de moment que el resultat equivalent que va demostrar és que tot nombre de la forma 8n+3 se pot escriure com la suma de tres quadrats imparells ( (2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2 ).
    Salutacions,
    Félix.

    7 Juliol 2007, 3:07 am

  2. Xavi (Bordoy):

    Gràcies Félix. Tampoc fa falta que cerquis res (ni facis de traductor). Aquesta demostració pareix tan complicada com el teorema de Lagrange.

    Per cert, la meva conjectura és falsa.

    7 Juliol 2007, 3:39 am

Deixa un comentari