« Alternatives al petroli
Certs tipus d’estructures »

Un problema matemàtic: mod alpha

28th Juliol 2007, 03:30 am

Tots els matemàtics coneixem la definició de mòdul:

Def: Siguin a, b, c tres nombres qualsevols. Direm que a és congruent amb b mòdul c, i ho escriurem a \equiv b \mod c si, i només si, existeix k \in \mathbb{N} tal que a - b = k \cdot c

Típicament a, b, c són nombres enters, però la definició es podria aplicar pels nombres reals (de fet sé que existeix tot una teoria de les Distribucions uniformement distribuïdes mòdul 1). La definició formal seria (és meva):

Def: Siguin a, b, c tres nombres reals qualsevols. Direm que a és congruent amb b mòdul c, i ho escriurem a \equiv b \mod c si, i només si, existeix k \in \mathbb{N}, (0 \leq k < c) tal que a - b = k \cdot c. (La condició que k < c la imposo per la unicitat de la congruència, encara que crec que no la necessit. Qualcú ho pot mirar?)

Bé, doncs resulta que tenc un problema matemàtic (potser trivial, no l’he pensat molt):

Conjectura: Sigui \alpha \in \mathbb{R}. Aleshores
\alpha és algebraic sii existeixen a, b nombres algebraics tals que \alpha \equiv a \mod b

És certa?. Penseu-ho!

De fet, crec que aquesta conjectura pot ser més forta:

Conjectura 2: Siguin \alpha \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{R} un nombre algebraic. Aleshores
\alpha és algebraic sii existeix a un nombre algebraic tal que \alpha \equiv a \mod q

Categoria: reflexions, personal, matemàtiques  |  Comentari (RSS)  |  Retroenllaç

7 comentaris

  1. Félix:

    Hola Xavi.
    He començat a mirar el problema que proposes però m’he trobat amb una dificultat. A la teva definició de congruència dius que a, b i c són nombres complexos i que k és un nombre natural. Després poses que 0

    28 Juliol 2007, 3:35 pm

  2. Félix:

    Ops. Acab de veure que no ha sortit el missatge sencer. Bé, com crec que no puc editar el meu comentari per solucionar-ho, tornaré a explicar la dificultat que m’he trobat: la qüestió principal és que si són nombres complexos hi ha que definir un ordre per poder afitar la k de la manera com tu ho fas.
    Salutacions.

    29 Juliol 2007, 1:00 am

  3. Xavi (Bordoy):

    És vera: hi ha problemes de fitacions. S’haurien de definir sobre nombres _reals_ Canviaré la definició

    29 Juliol 2007, 1:20 am

  4. Félix:

    (Tot per nombres reals)

    Conjectura 2.
    Implicació 1: si “A” és algebraic llavors existeix “A” algebraic tal que “A” és congruent amb “A” (mòdul “q”)
    Implicació 2: si existeix “a” algebraic tal que “A” és congruent amb “a” (mòdul “q”) llavors “A = a + kq” per qualque “k” nombre enter. Com que “a”, “q” i “k” són nombres algebraics i la suma i multiplicació de nombres algebraics és un nombre algebraic, llavors A és algebraic.

    I si no vaig errat, conjectura 2 implica conjectura 1.

    Hi ha qualque errada o està bé?

    30 Juliol 2007, 6:46 am

  5. Xavi (Bordoy):

    Sí, has errat: tu has provat la conjectura 1 o bé la conjectura 2 amb q algebraic.

    De fet, has provat que “tots els nombres algebraics són congruents entre ells mateixos mòdul un nombre algebraic fixat”. Per provar conject. 2 faria falta veure si això passa mòdul un real qualsevol.

    Una bona investigació (forta) seria trascendir aquest resultat per cossos qualsevols (ja que els nombres algebraics es defineixen sobre qualsevol cos. M’he pensat això (poc) però si s’aconseguís seria una bona manera de definir els nombres algebraics i potser obtenir-hi resultats interessants.

    Gràcies Fèlix pet tot

    30 Juliol 2007, 12:49 pm

  6. Félix:

    No acab de entendre el que em dius. Clar que ho he provat per “q” algebraic, és el que diu l’enunciat de la teva conjectura 2 (q real un nombre algebraic). M’ho pots aclarir per favor?

    30 Juliol 2007, 5:31 pm

  7. Xavi (Bordoy):

    Res, m’he equivocat. Has provat la conjectura 2. Me pensava que q no necessitava ser algebraic sinó real: volia emprar la conjectura 2 per definir els nombres algebraics, però això només s’aconseguiria amb q real (eventualment no algebraic), encara que si q és real i trascendent, llavors passa tot el contrari: un nombre algebraic seria congruent amb un nombre trascendent.

    Res que no serveix la definició de mòdul per definir el que és un nombre algebraic, almenys a mi no se m’ocorr com

    31 Juliol 2007, 1:59 pm

Deixa un comentari