Blog d’en Xavi

En primer lloc, vegem alguns arbres al bosc:

• Sigui G un grup qualsevol i H un subgrup seu. Tenim que si , llavors si els dos elements són de H, el seu producte és de H, si un dels dos i l’altre no són de H, llavors el seu producte no és de H, i si cap dels elements és de H, llavors no podem pronunciar-mos
• Fixeu-vos ara amb les funcions computables. Tenim la mateixa estructura inherent: si f i g són computables, la seva composició ho és. Si alguna ho és i l’altra no, llavors la seva composició no ho serà. I si cap és computable no ens podem pronunciar (per exemple si són inverses una de l’altra, la composició serà la identitat que és computable)
• El mateix passa amb els nombres algebraics: la suma (i de fet també serveix pel producte) de dos nombres algebraics, és algebraic… i la suma de dos nombres trascendents no sabem què dóna
• I el mateix passa amb “ser divisible per 3″: clarament si dos nombres no són divisibles per tres, la seva suma no sabem si serà o no divisible per 3.

Ara bé, el darrer exemple, no és igual que els demés: fixeu-vos que sabem que la clau per la que dos nombres no divisibles per 3 sumats ho arriben a ser: això es diu la “congruència mòdul 3″. El que realment fem quan trobem la congruència mòdul 3 és fer particions al desconegut. Abans teníem i . Abans si x, y eren de no sabíem si x + y seria o no de o de . Ara particionem en i si x i y estan a un dels subconjunts descrits sabem si la seva suma estarà a o a

Això mou a què definim dues classes d’estructures:

• Estructura tancada amb incertesa: tenim una propietat P(x) i una operació + sobre els elements que compleixen P(x). Si dos elements compleixen P(x), la seva “suma” compleix P(x), si un ho compleix i l’altra no, llavors la seva suma no ho compleix i si cap dels dos no compleix P(x), llavors no sabem res (la incertesa). Per simbolitzar això, podem abusar del llenguatge i escriure que , i
• Estructura tancada sense incertesa: quan , i ho sabem o ho podem decidir.

La reflexió que vull fer és que normalment passem de la primera a la segona estructura perquè particionem en altres subpropietats (el ser no divisible per 3 l’hem particionat en ser congruent en mòdul 3) i que sempre que en una teoria qualsevol (sigui la de grups, anells, funcions computables, topologia, etc.) estiguem en una situació d’incertesa intentar veure quin és l’element clau que permet passar a una estructura amb seguretat (sense incertesa)

Potser que en una teoria estigui present la incertesa (entesa com el que hem dit) vol poder dir que o bé encara ha de madurar o bé s’ocupa de problemes que són complexos (almenys ara per ara!).