Blog d’en Xavi

Alguns pensaments sobre nombres algebraics…

19th Setembre 2007, 09:42 am

L’altra dia vaig pensar algunes coses sobre nombres algebraics. El meu objectiu, molt ambiciós, era saber si podia caracteritzar els nombres trascendents d’una manera efectiva, o almenys teòrica (al marge de les que hi ha). Ja vos avanç que no vaig treure en clar res de res, però deix anar les meves reflexions per si algú li serveixen (o vol passar una estona enrient-se d’elles ;-))

Bé, començ:

Extendre la definició a més variables

La definició de nombre algebraic sempre involucra un polinomi amb una variable. Per què no amb més? Per la senzilla raó que no serveixen de res, com veurem:

Com tothom sap, $\alpha$ és algebraic sii existeix tal que $p(\alpha) = 0$
Podríem definir que $\alpha, \beta$ són coalgebraics sii existeix un polinomi de dues variables tal que $p(\alpha, \beta) = 0$

Bé, es pot veure clarament que $\alpha, \beta$ són coalgrebraics sii $\alpha$ és algebraic a $A \cup \{\beta\}$ . Per tant deduïm la coalgebricitat amb l’algebricitat de l’anell extès

La Geometria dels nombres algebraics via producte escalar

Podem veure un polinomi $p(x) = a_0+ \ldots a_n \cdot x^n$ com el producte cartesià al conjunt $F=\{ (a_i) \text{ t.q } a_i = 0 \text{ excepte un nombre finit de vegades }\}$ , $<(a_i), (b_i)> = \sum_i a_i \cdot b_i$ , com p(x) = <(a_i), (x^i)>

Així, $\alpha$ és algebraic sii existeix $\underline{a} \in F$ tal que $<a, f(\alpha)> = 0$ , on $f(\alpha) = (\alpha^i)$ . Per tant, el que realment feim és dir que $\alpha$ és algebraic sii existeix un element de F ortogonal a ella. Això sona a geometria…. Pot ser interessant desenvolupar la teoria. Una de les coses bàsiques que d’una bona teoria seria deduir que si $\alpha, \beta$ són algebraics, llavors ho són la seva suma i producte. Potser la suma es podria deduir de la linealitat del producte cartesià? M’ho he de pensar: me fa l’efecte que sí, però no sé com

La Geometria 2

Podria ser interessant veure els polinomis de dues (o més variables) com a productes de Hadamard de matrius $n\times 1$ (o $\infty\times 1$ ): $p(x, y) = \sum_{i, j} a_i\cdot x^i\cdot y^j = \underline{a} * \underline{X} * \underline{Y}$ , on la matriu es forma amb les successives potències de (ídem ). Segurament hi ha alguna geometria inherent a tot això

(* representa el producte de Hadamard)

La Geometria 3

Per què no provar el producte de Kronecker? Per exemple, suposem que tenim un polinomi de dues variables de grau màxim 2 en totes dues variables. Podríem representar p(x, y) com $p(x, y) = (A\times X \times Y + A\times Y \times X)\cdot(1, 1, \ldots, 1) \cdot (1, \ldots, 1)$ , on $\cdot$ és el producte cartesià, $\times$ representa el producte de Kronecker, A, B són qualcunes matrius de coeficients, X, Y són matrius formades per les columnes 1, x ; x^2, x^3 (ídem )?