Un problema matemàtic (eq. funcionals)
Tothom sap que la multiplicació ve de la suma (és iteració seva), i.e., 
(b vegades). Existeix qualque operació “| ” tal que + sigui iteració de | ? Quina és? Es pot caracteritzar de qualque manera? Si és que sí, es pot expressar d’alguna manera simple?
Penseu-ho!
Hola Xavi.
26 Octubre 2007, 9:42 amPrimer vull fer una reflexió. Estic d’acord que als naturals a * b = a + … + a (b vegades). El que ja no tinc tan clar, i crec que és origen de moltes de dificultats cognitives, és que aquesta mateixa definició funcioni per altres conjunts numérics (com ara els reals). Per exemple 3.5 * pi = 3.5 + … + 3.5 (pi vegades); qué significa pi vegades?
Deixant això de banda, crec que demanes si existeix qualque operació la iteració de la qual sigui la suma (igual que aquesta ho és de la multiplicació). Crec que la resposta és la operació successor (S(a) = S(a) + 1). D’aquesta manera, si jo ho he entés be, a + b = S(…S(a)…) (b vegades).
Ja em diràs que et sembla.
Salutacions,
Félix.
De vegades escric massa ràpid sense llegir després
26 Octubre 2007, 10:35 amS(a) = a + 1
Hola
en Fèlix té raó, a+b=S^b(a), la suma és iteració de successors (per definició, de fet). En canvi, no veig tan clar que el producte (de nombres naturals) a*b sigui iteració de la suma, en el sentit que a*b sigui una cosa de la forma F^m(a) amb F una funció definida a partir de la suma (i universal, és a dir, que no depengui de a) i m quelcom que depengui de b. No val a*b=S^{a*(b-1)}(a), que definir el producte emprant el producte es trampa. Per exemple, si fas servir F(x)=x+x, no pots aconseguir tots els a*b com a iteracions de F aplicada a a. F^2(a)=a+a+a+a, i no hi ha manera d’obtenir 3a.
Per tant, jo et retorn la pregunta: existeixen dues funcions f,g:N->N tals que a*b=f^{g(b)}(a) per a tots a, b de N? Em fa l’efecte que no, però tenc la teoria de models molt rovellada.
26 Octubre 2007, 10:39 amXesc, m’has deixat de pedre:
, 
. Llavors 
f(0) = 0+a = a
f^2(0) = (0 +a) +a = a +a
…
No sé exactament què no és el que tenim?
Félix: sí, un altre rotllo són els reals. Però sincerament crec que simplement 3*pi no s’ha d’interpretar, crec que simplement és una extensió de la funció a N per a què tot (continuïtat, propietats de grup, etc) quadri
27 Octubre 2007, 2:27 amXavi: la teva f depèn de a, i jo demanava UNA f i UNA g tals que per a tot a i per a tot b passi que a*b=f^{g(b)}(a).
27 Octubre 2007, 3:29 amDoncs si el que vols realment és que ni f ni g depenguin de a o bé de b, crec que la resposta és que no existeixen f i g. Potser quan creixen en el nivell de recursió es perd la possibilitat de què f i g no depenguin de a o de b. Passa el mateix per l’exponencial/potencial: a^b es pot definir com f^g(b)(a) sense que f i g depenguin de a ni de b (molt probablement no)
Però bé, una cosa és creure-s’ho i l’altra, provar-ho. Com ho podríem fer?
27 Octubre 2007, 12:06 pm