Comentaris a: Un problema matemàtic (eq. funcionals) http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/ El blog del soci núm. 79 Fri, 21 Nov 2008 22:36:42 +0000 http://wordpress.org/?v=wordpress-mu-1.2.1 Per: Xavi (Bordoy) http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-52 Xavi (Bordoy) Sat, 27 Oct 2007 19:06:02 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-52 Doncs si el que vols realment és que ni f ni g depenguin de a o bé de b, crec que la resposta és que no existeixen f i g. Potser quan creixen en el nivell de recursió es perd la possibilitat de què f i g no depenguin de a o de b. Passa el mateix per l'exponencial/potencial: a^b es pot definir com f^g(b)(a) sense que f i g depenguin de a ni de b (molt probablement no) Però bé, una cosa és creure-s'ho i l'altra, provar-ho. Com ho podríem fer? Doncs si el que vols realment és que ni f ni g depenguin de a o bé de b, crec que la resposta és que no existeixen f i g. Potser quan creixen en el nivell de recursió es perd la possibilitat de què f i g no depenguin de a o de b. Passa el mateix per l’exponencial/potencial: a^b es pot definir com f^g(b)(a) sense que f i g depenguin de a ni de b (molt probablement no)

Però bé, una cosa és creure-s’ho i l’altra, provar-ho. Com ho podríem fer?

]]> Per: cesc http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-51 cesc Sat, 27 Oct 2007 10:29:53 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-51 Xavi: la teva f depèn de a, i jo demanava UNA f i UNA g tals que per a tot a i per a tot b passi que a*b=f^{g(b)}(a). Xavi: la teva f depèn de a, i jo demanava UNA f i UNA g tals que per a tot a i per a tot b passi que a*b=f^{g(b)}(a).

]]> Per: Xavi (Bordoy) http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-50 Xavi (Bordoy) Sat, 27 Oct 2007 09:27:28 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-50 Xesc, m'has deixat de pedre: $latex f(x) = x+a$, $latex g(x) = x$. Llavors $latex a*b = f^{g(b)}(0)$ f(0) = 0+a = a f^2(0) = (0 +a) +a = a +a ... No sé exactament què no és el que tenim? Félix: sí, un altre rotllo són els reals. Però sincerament crec que simplement 3*pi no s'ha d'interpretar, crec que simplement és una extensió de la funció a N per a què tot (continuïtat, propietats de grup, etc) quadri Xesc, m’has deixat de pedre: f(x) = x+a, g(x) = x. Llavors a*b = f^{g(b)}(0)
f(0) = 0+a = a
f^2(0) = (0 +a) +a = a +a
…

No sé exactament què no és el que tenim?

Félix: sí, un altre rotllo són els reals. Però sincerament crec que simplement 3*pi no s’ha d’interpretar, crec que simplement és una extensió de la funció a N per a què tot (continuïtat, propietats de grup, etc) quadri

]]> Per: cesc http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-49 cesc Fri, 26 Oct 2007 17:39:07 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-49 Hola en Fèlix té raó, a+b=S^b(a), la suma és iteració de successors (per definició, de fet). En canvi, no veig tan clar que el producte (de nombres naturals) a*b sigui iteració de la suma, en el sentit que a*b sigui una cosa de la forma F^m(a) amb F una funció definida a partir de la suma (i universal, és a dir, que no depengui de a) i m quelcom que depengui de b. No val a*b=S^{a*(b-1)}(a), que definir el producte emprant el producte es trampa. Per exemple, si fas servir F(x)=x+x, no pots aconseguir tots els a*b com a iteracions de F aplicada a a. F^2(a)=a+a+a+a, i no hi ha manera d'obtenir 3a. Per tant, jo et retorn la pregunta: existeixen dues funcions f,g:N->N tals que a*b=f^{g(b)}(a) per a tots a, b de N? Em fa l'efecte que no, però tenc la teoria de models molt rovellada. Hola
en Fèlix té raó, a+b=S^b(a), la suma és iteració de successors (per definició, de fet). En canvi, no veig tan clar que el producte (de nombres naturals) a*b sigui iteració de la suma, en el sentit que a*b sigui una cosa de la forma F^m(a) amb F una funció definida a partir de la suma (i universal, és a dir, que no depengui de a) i m quelcom que depengui de b. No val a*b=S^{a*(b-1)}(a), que definir el producte emprant el producte es trampa. Per exemple, si fas servir F(x)=x+x, no pots aconseguir tots els a*b com a iteracions de F aplicada a a. F^2(a)=a+a+a+a, i no hi ha manera d’obtenir 3a.

Per tant, jo et retorn la pregunta: existeixen dues funcions f,g:N->N tals que a*b=f^{g(b)}(a) per a tots a, b de N? Em fa l’efecte que no, però tenc la teoria de models molt rovellada.

]]> Per: Félix http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-48 Félix Fri, 26 Oct 2007 17:35:24 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-48 De vegades escric massa ràpid sense llegir després :) S(a) = a + 1 De vegades escric massa ràpid sense llegir després :)
S(a) = a + 1

]]> Per: Félix http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-47 Félix Fri, 26 Oct 2007 16:42:10 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2007/10/26/un-problema-matematic-eq-funcionals/#comment-47 Hola Xavi. Primer vull fer una reflexió. Estic d'acord que als naturals a * b = a + ... + a (b vegades). El que ja no tinc tan clar, i crec que és origen de moltes de dificultats cognitives, és que aquesta mateixa definició funcioni per altres conjunts numérics (com ara els reals). Per exemple 3.5 * pi = 3.5 + ... + 3.5 (pi vegades); qué significa pi vegades? Deixant això de banda, crec que demanes si existeix qualque operació la iteració de la qual sigui la suma (igual que aquesta ho és de la multiplicació). Crec que la resposta és la operació successor (S(a) = S(a) + 1). D'aquesta manera, si jo ho he entés be, a + b = S(...S(a)...) (b vegades). Ja em diràs que et sembla. Salutacions, Félix. Hola Xavi.
Primer vull fer una reflexió. Estic d’acord que als naturals a * b = a + … + a (b vegades). El que ja no tinc tan clar, i crec que és origen de moltes de dificultats cognitives, és que aquesta mateixa definició funcioni per altres conjunts numérics (com ara els reals). Per exemple 3.5 * pi = 3.5 + … + 3.5 (pi vegades); qué significa pi vegades?
Deixant això de banda, crec que demanes si existeix qualque operació la iteració de la qual sigui la suma (igual que aquesta ho és de la multiplicació). Crec que la resposta és la operació successor (S(a) = S(a) + 1). D’aquesta manera, si jo ho he entés be, a + b = S(…S(a)…) (b vegades).
Ja em diràs que et sembla.
Salutacions,
Félix.

]]>