Nombres!
Què és un nombre?
- Podem veure els nombres com a elements d’estructures amb certes propietats (com a grups, anells, etc. amb certes propietats), però això no és definir un objecte sinó descriure’l (llistar les seves propietats)
- Els nombres naturals es podien definir com a cardinals de conjunts finits
- Però els demés, simplement són abstraccions? Com podeu definir què és un enter?, un racional?, un real?. Hem de recorre necessàriament a la geometria?
- Podríem fer el camí invers?: si els nombres naturals han sortit dels cardinals de conjunts, llavors podríem veure els nombres reals com a cardinals de conjunts (ja que al cap hi ha la fi provenen d’ells). De quins conjunts?
- Podríem anar més enllà: si els nombres naturals han sortit dels cardinals de conjunts i els cardinals provenen dels conjunts, els nombres reals de quins conjunts vénen? De conjunts amb la funció de pertanènça difosa?
Algú me’n podria fer 5 ¢ del que pensa?
Hola Xavi.
22 Novembre 2007, 2:52 pmFa uns mesos vaig demanar el mateix que demanes tu ara.
http://blogs.xeix.org/felix/2007/06/13/que-es-un-nombre/
I hi vares participar tu també als comentaris
A veure si ara s’anima més gent a contestar la pregunta.
Pel meu gust, i tot són gustos, mana la geometria, no la cardinalitat. Una bona definició, que vaig llegir fa estona, és
“Un nombre és un símbol que especifica una posició respecte d’un punt relativa a una unitat”. Això explica fins a complexos, tot i que no explica per què no pots muntar sistemes numèrics decents basats en espais de qualsevol dimensió.
He mirat de trobar la font per la xarxa, i no he trobat on ho vaig llegir (segurament a qualque llibre, no sé), però sí una variant per a estudiants de primària, que segurament en Félix apreciarà, a
22 Novembre 2007, 10:48 pmhttp://www.people.ex.ac.uk/PErnest/pome18/pdf/what_is_a_number%20_v2.pdf
(es un article aparegut a la revista en línia “Phylosophy of Mathematics Education”).
Hola. Sincerament no havia sentit mai la definició que escrius. I té la seva ocurrència. Per cert, gràcies per l’article.
23 Novembre 2007, 12:18 amPerò, m’agradaria fer un parell de comentaris.
Segons aquesta definició, sigui D la posició relativa a la dreta d’aquest “punt” que diu la definició. Sigui E la posició relativa a l’esquerra d’aquest “punt”. Són D i E nombres?
I una altra cosa, què vols dir quan poses “no pots muntar sistemes numèrics decents basats en espais de qualsevol dimensió”. No sé si ho entenc bé. Si et refereixes als vectors, els vectors són nombres?
Salutacions.
Hola Fèlix
Sobre una recta, la posicio relativa a la dreta i a l’esquerra són diferents i per tant nombres diferents (un negatiu de l’altre, decidir quin és el “positiu” ja és convenció). Al pla, la posició relativa diferència distància i angle respecte d’una direcció, etc.
Per “no pots muntar sistemes numèrics decents basats en espais de qualsevol dimensió” em referia al teorema (esper que ben conegut, però ara no record l’autor ;-)) que diu que, per exemple, sobre R^3 no existeix cap estructura de R-àlgebra amb unitat i divisió (és a dir, no hi pots definir una suma i un producte amb unitat, respecte del qual tot element diferent de 0 tingui invers, i que a més sigui bilineal respecte de “productes per escalars”). Aquesta seria una estructura natural si volguessis interpretar per exemple els element de R^3 com a nombres, com bé ho fem amb R^2 (NOMBRES complexos) o R^4 (NOMBRES quaterniònics).
23 Novembre 2007, 2:28 amXesc: crec que va ser en Fröbenius. Potser si cercassim Hamilton (els dels quaternions el trobarem)
M’agrada la definició geomètrica que proposes, però la vessant lògica m’estira més i preferesc els cardinals.
Podria estar bé saber quines classes de definicions de nombres hi ha i la seva complexitat/possibilitats
23 Novembre 2007, 9:05 amFélix: tenc mala memòria
23 Novembre 2007, 9:06 am