Perpendicularitat
Tothom sap que en matemàtiques bàsiques dos segments són perpendiculars un amb l’altre si formen un angle recte. Ara mateix no vull discutir què és un angle i les possibles generalitzacions a altres geometries o línies corbes. Ara només vull discutir el concepte de perpendicular (que sorprenentment podem tenir sense la definició d’angle)
Tothom sap que una generalització de perpendicularitat és la de ortogonalitat (producte cartesià en un espai vectorial, etc.). L’altre dia vaig estar pensant una definició alternativa. Deixeu-me que la motivi
En la geometria euclídea 2D, donat un segment AB, un segment perpendicular (que caurà a la mediatriu
bisectriudel segment) V serà tal que qualsevol punt x de V estarà a la mateixa distància de A que de B (extrems del segment inicial)Això també passa a la geometria euclídea 3D: donat un segment AB, tenim un pla de segments perpendiculars a AB que també compleixen que qualsevol punt x d’un segment qualsevol del pla perpendicular a AB dista igual d’A que de B
Fins i tot a l’esfera, si dibuixam un segment AB, tenim que un segment perpendicular a AB està sobre la mediatriu
bisectriui per tant també compleix la propietat
Per tant, pareix que podríem generalitzar i donar la següent definició:
Definició: Sigui X un espai mètric. Siguin a, b dos punts de X qualssevol. Un segment [a,b] és qualsevol aplicació:
- \phi: [0,1] –> X que sigui contínua
- \phi(0) = a, \phi(1) =b
- per a qualsevol x de \phi (o sigui qualsevol x tal que existeixi t tal que \phi(t) = x),
d(x, a) i d(x, b) siguin mínimes (o sigui no existeixi cap y de X tal que d(y, a) < d(x, a) o bé que d(y, b)<d(x, b))d(a, b) = d(a, x) + d(x, b)
Pareix que aquesta seria una bona definició de segment, però em podríem admetre d’altres. És únic [a, b]? Perquè sinó hem de canviar la definició!
Definició (alternativa de ortogonalitat; li podríem dir definició de mediatriu bisectriu): Sigui X un espai mètric. Siguin a, b de X dos punts qualssevol i [a, b] un segment seu. Direm que [c, d] és mediatriu de [a, b] sii per a tot x que pertanyi a [c, d], d(x, a) = d(x, b)
Pregunta: quan la definició alternativa dóna el mateix concepte que el del producte escalar? A R^n? Penseu-hi!
PS: Potser no contesti als comentaris fins d’aquí uns dies (vacances!)
Hola Xavi. He intentat seguir el teu raonament. Una pregunta: quan dius bisectriu te refereixes a mediatriu? Ho dic perquè bisectriu és un concepte associat al concepte d’angle, i mediatriu al de segment.
17 Desembre 2007, 3:28 pmPer altra banda, has definit “mediatriu”. Com passes a la definició d’ortogonalitat? No hi estic d’acord que siguin termes equivalents (la mediatriu és perpendicular al segment però no totes les perpendiculars són mediatrius). S’ha de dir qualque cosa més per enllaçar-la amb el concepte d’ortogonalitat. Abans d’intentar passar a R^n i de veure si és equivalent o no a altra definició l’hauríem de definir d’una manera inequívoca per saber si és correcta (o dit d’una altra manera, saber si s’ajusta al que volem que defineixi).
Salutacions,
Félix.
Sí, perdona mediatriu (canviaré l’entrada). Tens raó
Sobre el referent a la definició de mediatriu, he de dir que tot el que he escrit és un esboç, una idea intuitiva i no està ni molt menys del tot formalitzada.
Està clar que són dos conceptes diferents: basta dir que un està definits a espais mètrics i l’altra a espais vectorials. Però a R^n, no se m’ocorr cap perpendicular que no sigui mediatriu (o pertanyi a qualque pla mediatriuer) d’un segment. En pots donar un (contra)exemple?
Què trobes que fa falta per enllaçar mediatriu i perpendicularitat?
Tot està obert (que és el més guai). Per tant, suggereix
18 Desembre 2007, 8:08 amHola Xavi.
18 Desembre 2007, 10:50 am“Què trobes que fa falta per enllaçar mediatriu i perpendicularitat?”
No sé… se me ocorr sense pensar massa que totes les perpendiculars són paral·leles a la mediatriu. Però hauries de definir paral·lel i no sé si acabaràs fent definicions cícliques.
“Però a R^n, no se m’ocorr cap perpendicular que no sigui mediatriu (o pertanyi a qualque pla mediatriuer) d’un segment”
Crec que hi ha un problema d’estructura del raonament. No es tracta de trobar una perpendicular que no sigui mediatriu d’UN segment (perquè jo crec que no la trobaràs), sinó que hi ha perpendiculars que no són mediatriu DEL segment (ja fixat prèviament). No sé si m’explic.
Per altra banda crec que s’ha d’anar alerta amb els casos extrems. Segons la definició que has posat de segment, un punt és un segment? En cas afirmatiu, i amb la definició que poses de mediatriu, la mediatriu d’aquest segment (punt) és tot l’espai? Contradiu això el que volem que sigui o no?
A veure, jo no t’entenc!. Donat un espai mètric amb dos punts com a mínim, hom pot definir un segment, i llavors trobar una mediatriu d’aquest segment (segons la def.) i una mediatriu de la mediatriu, etc. Per mi totes les perpendiculars que veig (a R^n o geometries bàsiques) són mediatrius d’un segment donat
Sobre que un segment pot ser un punt, supòs que a b (però bé, això també passa amb la def., clàssica d’interval: [a,a] = {a})
18 Desembre 2007, 12:55 pm“Per mi totes les perpendiculars que veig (a R^n o geometries bàsiques) són mediatrius d’un segment donat”
18 Desembre 2007, 3:54 pmEl que jo vull dir és que totes les perpendiculars són mediatrius de qualque segment, però no hi estic d’acord que siguin mediatrius d’un segment donat (fixat). Hi ha una diferència substancial per poder fer l’extensió de la definició.
Doncs ens hem entès malament: no volia dir “donat” com a “fixat” sinó “donat” com a “qualque altre segment”
19 Desembre 2007, 8:11 amHola Xavi,
la teva definició té un petit forat. Si la distància és prou senzilla, et pots trobar un segment perpendicular a [a,b] inclòs dins [a,b] mateix.
En concret, es diuen els punts mitjos de dos punts a i b als punts x tals que d(a,x)=d(x,b)=d(a,b)/2. Aquests punts són bons candidats a pertànyer a segments dels teus (la suma de les distàncies es d(a,b)) i a mediatrius de les teves. Fa un temps amb en Jaume Casasnovas ens dedicàrem a investigar els punts mitjos per a algunes distàncies dins R^n com ara la de Hamming i la del màxim (amb l’excusa que si dos vectors de R^n els enteníem com a dues descripcions de l’estat d’un malalt donades per dos metges diferents, els punts mitjos serien descripcions mitjanes, o consensuades, d’aquest malalt i es podien emprar per prendre decisions sobre aquest). Bé, això no és important aquí. El que és important és que per a aquestes mètriques els conjunts de punts mitjos formen conjunts semialgebraics de dimensions positives. Per exemple (cito d’un article nostre), els punts mitjos de (0.9, 0.2, 0.9) i (0.5, 0.1, 0.6) respecte de la distància del màxim formen el quadrat {0.7} × [0, 0.3] × [0.7, 0.8], i estic segur que aquí dedins hi pots definir molts camins (aplicacions contínues de [0,1] en…) no trivials, que et donaran mediatrius de [(0.9, 0.2, 0.9), (0.5, 0.1, 0.6)] incloses dins d’aquest segment.
Bon Nadal
21 Desembre 2007, 1:17 amMoltes gràcies Xesc pels teus commentaris (geomètrics). Mira per on un no sabia que tengués tan a prop gent que es dedicàs al que un pensa!
Sobre el que comentes, me pots passar el link de l’article?. Per altra banda, veig que la noció de perpendicularitat que jo tenia, la derivada dels punts mitjos de dos punts i la usual (la de el producte escalar) tampoc difereixen gaire.
En la mètrica usual fins i tot concidirien m’atreveixo a dir, encara que tot fa pensar que no. Hi ha algun resultat general sobre els punts mitjos de dos punts arbitraris a, b en la mètrica usual a R^n?
Està clar que, coincideixin o no en R^n, el que me crida l’atenció és per què es va agafar aquella definició d’ortogonalitat (la del producte escalar). Històricament hi ha qualque raó? Alguna referència? Realment no suposa moltes coses: tenir un Espai vectorial. Per ser ortogonal has de viure dins un espai vectorial? Això és el que me plantejava aquí amb la meva definició (volia veure si podíem extendre el concepte simplement a espais mètrics; i comparar els conjunts resultants).
No em volia ficar al concepte d’angle (que crec que mereix una eterna discussió) i anar directament a menjar-me l’ortogonalitat, per això vaig pensar el de les mediatrius….
Què troba un gran geòmetre com tu de tot plegat? Quina és la teva intuició?
Gràcies per tot,
Xavi
PS: Bon Nadal =ment
23 Desembre 2007, 5:45 amPPS: El pròxim dia, l’atac de l’angle (aquí sí que estic segur que no fa falta un espai vectorial per tenir definit el concepte d’angle). Per cert, xerrant d’angles sé que hi ha ver un tio que va escriure un llibre (disponible el primer capítol lliurement en pdf) sobre un altre manera de definir els angles i les raons trigonomètriques. Algú sap què dic? He cercat a Mr. Google i no he trobat res.
Hola Xavi
contestaré algunes coses, no totes, que el meu cervell encara està en mode “període no lectiu”.
a) Pots el treball al que em referia a la meva plana web de publicacions recents, http://bioinfo.uib.es/~cesc/recerca/publicacions.html
b) Els punts mitjos de dos punts arbitraris (a1,…,an) i (b1,…,bn) es poden calcular: seran els (x1,…,xn) tals que
(x1-a1)^2+…+(xn-an)^2=(x1-b1)^2+…+(xn-bn)^2 i això, si ho desenvolupes, et donarà l’hiperplà perpendicular (;-)) a la recta que uneix a i b i passant per (a+b)/2. Que vol dir que conicideixn la noció de perpendicularitat i la de punts mitjos en aquest cas? Hi ha molts mes hiperplans perpendiculars…..
c) A R^n el producte escalar està molt relacionat amb la norma euclidea i amb el teorema del cosinus (exercici, cerca la relacio), i es nartural aleshores perpendicular=(cosinus=0)=(producte escalar=0). Però si no hi ha geometria al darrera, dir que perpendicularitat és igual a producte escalar 0 és simplement una abreviatura sense més motiu que la generalització
d) Sempre pots dir que un angle abc és recte quan el triangle abc satisfà el teorema de Pitagores per a les distancies entre els vèrtexos.
e) Jo soc mes aviat poc geometra, de fet soc algebrista, recombinador de coses.
Cesc
28 Desembre 2007, 3:38 amEn primer lloc, gràcies Xesc per tots aquests comentaris. Per no estar en període docent, ja n’hi ha prou
Sobre (b), sí, clar suposo que la hi ha més hiperplans perpendiculars que els que donen els punts mitjos. Almenys doncs tenim la relació d’inclusió a R^n
Sobre (c), sí, el producte escalar està relacionat amb tot això. Però no sé què ve primer: si la norma euclídea deriva del producte escalar o si és el producte escalar que deriva de la norma euclídea. Està clar que tot en darrera instància ve del concepte d’angle i del concepte de distància (euclídea) entre dos punts. Però bé, amb tot no crec que es necessiti tenir un E.V. per tenir geometria (i per tant definir el concepte d’ortogonalitat). Crec que ser perpendicular, tenir angles entre coses no necessita d’espais vectorials. Crec que es pot relaxar una mica més. Però, m’ho pensaré. És el maco de l’assumpte….
Sobre (e), me pensava que vares fer la tesi sobre alguna cosa de comptar punts que intersequen corbes….
? Bé, idò ara ja te tenc definit: “algebrista recombinador de coses amb tendència evolutiva a la geometria i les bases de Gröbner ” 
Moltes gràcies per tot,
28 Desembre 2007, 8:02 amXavi
Hola
la meva tesi era del que es diu geometria algebraica, és a dir, ni carn ni peix (o totes dues coses), i de fet emprava topologia algebraica per donar una sèrie d’eines noves per, en efecte, poder comptar coses, com ara, quantes còniques hi ha tangents a sis còniques donades i coses així. Però era molt algebraic tot. Ara que, de fet, la meva àrea de coneixement quan estava a Barcelona era Geometria, per tant per ventura tens raó…….
I ja que hi sóm, vols dir que el concepte de perpendicularitat sense el de recta té molt de sentit?
29 Desembre 2007, 9:28 amEi Xesc, doncs al final no anava tan despistat!
Duus un poc de geòmetre al teu interior! Bé, ja sabia que eres d’àlgebra i no d’anàlisi (això es nota un quan veu a la gent: sap si un és d’àlgebra o d’anàlisi), però volia afinar el meu coneixement….
Sobre el de la perpendicular…. sí, sí que té sentit: no tenim plans perpendiculars? i corbes perpendiculars?
Es podria entendre que són conceptes derivats del concepte de segment perpendicular, o pensar que no. El xulo de les mates (entre d’altres) és que pots inventar-te coses.
Per cert, escrivint això, se me n’ha ocorregut una altra: si definissim la projecció, de qualque manera ser perpendicular és minimitzar l’”àrea” de la projecció. Ei!, si això és precisament el concepte de producte escalar. Què guai, la roda gira i gira…..
Res, no me facis cas, són neures d’un mal matemàtic….
Xavi
PS: Gràcies per tots els comentaris/participació
29 Desembre 2007, 12:15 pmPlans perpendiculars quan unes certes rectes determinades dels plans son perpepndiculars? Corbes perpendiculars quan unes certes rectes associades al punt de tall són perpendiculars? Em sembla que la recta apareix per tot. Suposo que perquè en darrera instancia la perpendicularitat la tenim associada a direccions. Pot ser després la podem des-associar, via segments, via angles abstractes.
No veig clar lo que la perpendicularitat minimtza l’àrea de la projecció, si l’objecte que projectes talla el pla on el vols projectar, la projeció d’àrea minima tendirà a ser més aviat “paral.lela” a l’objecte, i no perpendicular al pla. No sempre, però fes qualque dibuix.
Pel que fa a què va ser abans, si el producte tensorial o l’ortogonalitat, no sé si coneixes la plana web http://members.aol.com/jeff570/mathword.html
de primers usos de paraules en matemàtiques. Hi descobriràs que l’ortogonalitat de vectors va ser posterior, i inspirada per, a l’ortogonalitat de funcions, jo he quedat sorprès. Et deix a tu que miris quan s’empra perpendicular per primer cop, etc.
La meva proposta quasi-definitiva d’ortogonalitat, que segurament podríem investigar per a distàncies no euclidianes (eg Manhatan, Hamming, màxim,…) a mem que dona:
dos segments [a,b] i [a,c] són perpendiculars quan, per a cada x de [a,b] i y de [a,c] se satisfà que d(x,y)^2=d(a,x)^2+d(a,y)^2
La veritat es que un cop escrita no m’agrada, és massa euclidiana, tots aquests quadrats,
30 Desembre 2007, 2:01 amUps, he fet clic abans d’hora. Ja has vist la discusió
30 Desembre 2007, 2:06 amhttp://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=243070&tstart=0
?
Sobre la discussió de mathforum, m’ha parescut que més o menys feien el mateix que jo: definien perpendicularitat en termes de distàncies. La he seguida i pareix que no treuen res en clar.
En segon lloc, gràcies per tota la recerca bibliogràfica que has feta. No, no coneixia la pàgina aquella de la història dels termes matemàtics i tampoc havia cercat gaire per internet discussions sobre generalitzacions que sí has fet tu. Gràcies per tota aquesta feina.
Sobre que els plans i corbes perpendiculars estan induïdes per rectes perpendicular és vera. De fet, crec que som uns animals una mica (massa) rectes: tot ho tendim a rectificar (àrees, derivades, ….). Moltes vegades m’he demanat per què no fer-ho a l’inrevés: intentar “curvificar” les rectes: saber quanta corba està inclosa dins una recta com cercam quanta recta està inclosa en una corba…. Però, bé, admet la crítica.
Sobre la teva definició de ortogonalitat, no m’agrada. Sí que és massa euclídea. Els quadrats tendeixen a ser massa euclidis. No crec que aquesta definició donàs gaires conjunts macos en el que la idea de ser ortogonal que tenim i la que donàs coincidissin. Però bé, potser sí, ningú ho sap.
Sobre la definició de la projecció: sí, mira t’he fet un dibuix: mira’l a http://blogs.xeix.org/xavi/documents/ . És una foto, ho sigui que si no la veus, m’ho dius. He fet la projecció de dos segments i de dos plans no infinits (plans afitats). Clarament quan progressivament es van fent ortogonals la projecció a l’altra element es fa més petita, arribant a un punt pel cas de segments i a un segments pel cas de plans afitats.
Crec que el concepte que hi ha al darrera d’aquesta projecció és la de producte escalar dels objectes. De fet, aquest és el dibuix que feim totes les vegades que dibuixam el producte escalar, el vector projecció ….
30 Desembre 2007, 4:36 amAh!, avui de casualitat he vist això: http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_geometry
Es veu que amb poc es poden definir les paral·leles. És curiós perquè un té com a concepte la perpendicularitat el contrari del de paral·lelisme. Es pot definir perpendicular com a derivat de paral·lel?
Un element més a la nostra discussió!
30 Desembre 2007, 11:30 am