Un element més a la nostra discussió!

En segon lloc, gràcies per tota la recerca bibliogràfica que has feta. No, no coneixia la pàgina aquella de la història dels termes matemàtics i tampoc havia cercat gaire per internet discussions sobre generalitzacions que sí has fet tu. Gràcies per tota aquesta feina.

Sobre que els plans i corbes perpendiculars estan induïdes per rectes perpendicular és vera. De fet, crec que som uns animals una mica (massa) rectes: tot ho tendim a rectificar (àrees, derivades, ….). Moltes vegades m’he demanat per què no fer-ho a l’inrevés: intentar “curvificar” les rectes: saber quanta corba està inclosa dins una recta com cercam quanta recta està inclosa en una corba…. Però, bé, admet la crítica.

Sobre la teva definició de ortogonalitat, no m’agrada. Sí que és massa euclídea. Els quadrats tendeixen a ser massa euclidis. No crec que aquesta definició donàs gaires conjunts macos en el que la idea de ser ortogonal que tenim i la que donàs coincidissin. Però bé, potser sí, ningú ho sap.

Sobre la definició de la projecció: sí, mira t’he fet un dibuix: mira’l a http://blogs.xeix.org/xavi/documents/ . És una foto, ho sigui que si no la veus, m’ho dius. He fet la projecció de dos segments i de dos plans no infinits (plans afitats). Clarament quan progressivament es van fent ortogonals la projecció a l’altra element es fa més petita, arribant a un punt pel cas de segments i a un segments pel cas de plans afitats.

Crec que el concepte que hi ha al darrera d’aquesta projecció és la de producte escalar dels objectes. De fet, aquest és el dibuix que feim totes les vegades que dibuixam el producte escalar, el vector projecció ….

No veig clar lo que la perpendicularitat minimtza l’àrea de la projecció, si l’objecte que projectes talla el pla on el vols projectar, la projeció d’àrea minima tendirà a ser més aviat “paral.lela” a l’objecte, i no perpendicular al pla. No sempre, però fes qualque dibuix.

Pel que fa a què va ser abans, si el producte tensorial o l’ortogonalitat, no sé si coneixes la plana web http://members.aol.com/jeff570/mathword.html
de primers usos de paraules en matemàtiques. Hi descobriràs que l’ortogonalitat de vectors va ser posterior, i inspirada per, a l’ortogonalitat de funcions, jo he quedat sorprès. Et deix a tu que miris quan s’empra perpendicular per primer cop, etc.

La meva proposta quasi-definitiva d’ortogonalitat, que segurament podríem investigar per a distàncies no euclidianes (eg Manhatan, Hamming, màxim,…) a mem que dona:
dos segments [a,b] i [a,c] són perpendiculars quan, per a cada x de [a,b] i y de [a,c] se satisfà que d(x,y)^2=d(a,x)^2+d(a,y)^2

La veritat es que un cop escrita no m’agrada, és massa euclidiana, tots aquests quadrats,

Sobre el de la perpendicular…. sí, sí que té sentit: no tenim plans perpendiculars? i corbes perpendiculars?
Es podria entendre que són conceptes derivats del concepte de segment perpendicular, o pensar que no. El xulo de les mates (entre d’altres) és que pots inventar-te coses.

Per cert, escrivint això, se me n’ha ocorregut una altra: si definissim la projecció, de qualque manera ser perpendicular és minimitzar l’”àrea” de la projecció. Ei!, si això és precisament el concepte de producte escalar. Què guai, la roda gira i gira…..

Res, no me facis cas, són neures d’un mal matemàtic….

Xavi

PS: Gràcies per tots els comentaris/participació

I ja que hi sóm, vols dir que el concepte de perpendicularitat sense el de recta té molt de sentit?

Sobre (c), sí, el producte escalar està relacionat amb tot això. Però no sé què ve primer: si la norma euclídea deriva del producte escalar o si és el producte escalar que deriva de la norma euclídea. Està clar que tot en darrera instància ve del concepte d’angle i del concepte de distància (euclídea) entre dos punts. Però bé, amb tot no crec que es necessiti tenir un E.V. per tenir geometria (i per tant definir el concepte d’ortogonalitat). Crec que ser perpendicular, tenir angles entre coses no necessita d’espais vectorials. Crec que es pot relaxar una mica més. Però, m’ho pensaré. És el maco de l’assumpte….

Sobre (e), me pensava que vares fer la tesi sobre alguna cosa de comptar punts que intersequen corbes…. ? Bé, idò ara ja te tenc definit: “algebrista recombinador de coses amb tendència evolutiva a la geometria i les bases de Gröbner ”

Moltes gràcies per tot,
Xavi

a) Pots el treball al que em referia a la meva plana web de publicacions recents, http://bioinfo.uib.es/~cesc/recerca/publicacions.html

b) Els punts mitjos de dos punts arbitraris (a1,…,an) i (b1,…,bn) es poden calcular: seran els (x1,…,xn) tals que
(x1-a1)^2+…+(xn-an)^2=(x1-b1)^2+…+(xn-bn)^2 i això, si ho desenvolupes, et donarà l’hiperplà perpendicular (;-)) a la recta que uneix a i b i passant per (a+b)/2. Que vol dir que conicideixn la noció de perpendicularitat i la de punts mitjos en aquest cas? Hi ha molts mes hiperplans perpendiculars…..

c) A R^n el producte escalar està molt relacionat amb la norma euclidea i amb el teorema del cosinus (exercici, cerca la relacio), i es nartural aleshores perpendicular=(cosinus=0)=(producte escalar=0). Però si no hi ha geometria al darrera, dir que perpendicularitat és igual a producte escalar 0 és simplement una abreviatura sense més motiu que la generalització

d) Sempre pots dir que un angle abc és recte quan el triangle abc satisfà el teorema de Pitagores per a les distancies entre els vèrtexos.

e) Jo soc mes aviat poc geometra, de fet soc algebrista, recombinador de coses.

Cesc

Sobre el que comentes, me pots passar el link de l’article?. Per altra banda, veig que la noció de perpendicularitat que jo tenia, la derivada dels punts mitjos de dos punts i la usual (la de el producte escalar) tampoc difereixen gaire.

En la mètrica usual fins i tot concidirien m’atreveixo a dir, encara que tot fa pensar que no. Hi ha algun resultat general sobre els punts mitjos de dos punts arbitraris a, b en la mètrica usual a R^n?

Està clar que, coincideixin o no en R^n, el que me crida l’atenció és per què es va agafar aquella definició d’ortogonalitat (la del producte escalar). Històricament hi ha qualque raó? Alguna referència? Realment no suposa moltes coses: tenir un Espai vectorial. Per ser ortogonal has de viure dins un espai vectorial? Això és el que me plantejava aquí amb la meva definició (volia veure si podíem extendre el concepte simplement a espais mètrics; i comparar els conjunts resultants).

No em volia ficar al concepte d’angle (que crec que mereix una eterna discussió) i anar directament a menjar-me l’ortogonalitat, per això vaig pensar el de les mediatrius….

Què troba un gran geòmetre com tu de tot plegat? Quina és la teva intuició?

Gràcies per tot,
Xavi

PS: Bon Nadal =ment
PPS: El pròxim dia, l’atac de l’angle (aquí sí que estic segur que no fa falta un espai vectorial per tenir definit el concepte d’angle). Per cert, xerrant d’angles sé que hi ha ver un tio que va escriure un llibre (disponible el primer capítol lliurement en pdf) sobre un altre manera de definir els angles i les raons trigonomètriques. Algú sap què dic? He cercat a Mr. Google i no he trobat res.

En concret, es diuen els punts mitjos de dos punts a i b als punts x tals que d(a,x)=d(x,b)=d(a,b)/2. Aquests punts són bons candidats a pertànyer a segments dels teus (la suma de les distàncies es d(a,b)) i a mediatrius de les teves. Fa un temps amb en Jaume Casasnovas ens dedicàrem a investigar els punts mitjos per a algunes distàncies dins R^n com ara la de Hamming i la del màxim (amb l’excusa que si dos vectors de R^n els enteníem com a dues descripcions de l’estat d’un malalt donades per dos metges diferents, els punts mitjos serien descripcions mitjanes, o consensuades, d’aquest malalt i es podien emprar per prendre decisions sobre aquest). Bé, això no és important aquí. El que és important és que per a aquestes mètriques els conjunts de punts mitjos formen conjunts semialgebraics de dimensions positives. Per exemple (cito d’un article nostre), els punts mitjos de (0.9, 0.2, 0.9) i (0.5, 0.1, 0.6) respecte de la distància del màxim formen el quadrat {0.7} × [0, 0.3] × [0.7, 0.8], i estic segur que aquí dedins hi pots definir molts camins (aplicacions contínues de [0,1] en…) no trivials, que et donaran mediatrius de [(0.9, 0.2, 0.9), (0.5, 0.1, 0.6)] incloses dins d’aquest segment.

Bon Nadal