Blog d’en Xavi

Matemàticament quina definició s’empra per dir que una cosa és aleatòria? Algú ho sap?

He trobat cosa al respecte ([1], [2], [3], [4], [5] i [6]) però no n’he tret res en clar. Pareix que depèn un poc de convencionalismes i les definicions no diuen res del cas no enumerable (estic pensant en d-xarxes aleatòries per exemple)

Fa un temps vaig imaginar com seria un ordinador quimèric. Doncs a títol informatiu, he descobert avui de casualitat que existeix.

Bravo la imaginació

M’agradaria que algú m’ajudàs amb aquests dos problemes:

1. Trobar una bona fita superior d’a i b nombres naturals que satisfan .

Cerc una demostració elegant (4 o 5 línies). En tenc una però és més llarga.

2. Quin nom té aquesta estructura següent?: Tenim (A, *),(A,·),(A, |) tres monoides que satisfan: (a|b)·(c|d) = (a*b)*(c*d).

Qualcú me pot ajudar? Gràcies.

Algú sap com es diu una aplicació entre dos monoides (A, ·) i (A, *), phi: A –>A, tal que A·B = phi(A)*phi(B)? Es pot englobar en qualque estructura general, on (A, ·) i (A, *) puguin tenir dominis diferents?

Ahir un informàtic me va explicar un problema d’enginy. És el problema dels cinc filòsofs xinesos. Es veu que aquest problema és un clàssic a la carrera d’Informàtica i anàlogues. El passo a descriure:

En una taula redona tenim disposats 5 bastonets xinesos i 5 filòsofs xinesos. Cada filòsof xinès té a l’esquerra i a la dreta un sol bastonet, que comparteix amb el comensal de la seva esquerra i amb el comensal de la seva dreta. Just davant del cada filòsof hi ha un bol de tallarins.

Per menjar, el filòsof necessita dos bastonets (provau de menjar-los amb un sol bastonet!). I per tant o bé pot esperar (en el problema es diu que pensa, que és el que fan els filòsofs), o bé menja (té dos bastonets), o bé té només un bastonet en la mà

El problema consisteix en saber com sincronitzar els filòsofs per a què cap filòsof no es mori de fam

Els informàtics resolen això amb algorismes, definint què vol dir no morir-se de fam (no esperar més d’un temps; trobar-se que no hi ha menjar, si cada bol conté una quantitat finita de menjar; etc.). Però m’agradaria veure si algú sap com resoldre’l matemàticament (i sobretot de manera òptima; sigui quina sigui la vostra definició de resoldre’l).

Per cert, trobeu que hi ha problemes clàssics a la carrera de Matemàtiques? En la vostra opinió quins són?

PS: Per més informació: [1], [2]

Tothom sap que des de fa un poc ençà, tenim l’euro més fort que el dòlar (això en argot econòmic significa que un euro val més que un dòlar; per cada euro tenim un parell de dòlars). Això sempre es compta com una pega per les empreses europees a l’hora de exportar: els habitants dels EUA per exemple els surt més car comprar un producte de la UE que un seu (en el supòsit que es venguessin a les mateixes unitats econòmiques: 1€ i 1$)

Ara bé, potser pot constituir una ventatge en alguns casos: he pensat que si un fabricant pot comprar els seus components a fora (als EUA), li sortiran més barats que aquí (perquè l’euro > dòlar). Si després de sumar-hi les despeses d’enviament encara són més barats, aleshores, després de montar el producte, podria vendre’l a un preu més baix que la competència, inclús a un preu més baix del que costaria amb el canvi euro/dòlar. No sé si m’he explicat

Això potser es podria fer amb productes que depenen molt fortament dels components que els integren i no tant del procés de montatge. Estic pensant per exemple en avions: si suposam que els costos de personal de montar un avió a EUA i a Europa són els mateixos, aleshores els europeus podríem comprar els components de l’avió a EUA i montar-los aquí. Això ens sortiria més barat que comprar els components dins la UE.

Depèn com es faci es podrien abaratir molt els costos de producció… i estic pensant que, si tot va bé, fins i tot podríem vendre l’avió als EUA a un preu molt menor al d’allà

Voldria comentar algunes coses:

• En primer lloc, hem de destacar el gran pronunciament (és ironia) del Sr. Ratzinger que amb to diví (qui sinó el podia tenir!) ha anunciat que el judici d’en Galileo Galilei va ser “racional i just“. Salvant les distàncies, segurament d’aquí uns anys hi haurà algun que altre que dirà que els judicis que Guantànamo varen ser també racionals i justos. Ah! no, que no hi va haver judicis
• En segon lloc, hem de celebrar que el COE hagi retirat la iniciativa de posar lletra a l’himne espanyol. No vos heu demanat per què el COE, i no algun dels partits polítics que seria el més natural, ha volgut posar una lletra a un himne que no en té? Qui és n’Alejandro Blanco? A mi me sona a alguna mà negre (sobretot una de dreta). Hauríem d’estar orgullosos de tenir un himne sense lletra (així tothom pot interpretar-lo com vulgui; si és que hem d’estar orgullosos de tenir himne). Estic molt content que com a mínim hagin fet cas a les crítiques i hagin retirat l’himne. La llàstima és que les crítiques es centraven en la lletra i no en el perquè de la iniciativa
• Ahir hi ha haver una decissió del Parlament europeu que demanava que es prohibís que els infants anassin amb mocador a l’escola. És una opinió personal però això me pareix patètic. Alerta, no defens aquells qui obliguen a posar-se mocador a les persones. Ni molt manco. Defens la idea que es pugui elegir dur-lo posat. Per què hem d’obligar que una persona es llevi el mocador quan el vol dur? Faríem el mateix amb una velleta que duu un mocador per tapar-se el cap? I amb un al·lot que duu gorra? Per mi simplement és una manera de vestir. Crec que el Parlament europeu no farà pròximament un pronunciament sobre els nins i les gorres, o sobre les deportives en dies que no tenim gimnàsia…. (o sí!)

M’agradaria saber si algú sap quin són els fonaments reals de les Matemàtiques. M’explic: sempre se’ns ha explicat que totes les matemàtiques es poden fonamentar amb la teoria de conjunts i la lògica, però tenc alguns reticències. Corregiu-me si m’equivoc:

1. En primer lloc, la teoria de conjunts no té una sola axiomatització: hi ha la més coneguda axiomatització de Zermelo-Fraenkel, la de Neuman-Bernays-Gödel i moltes altres (n’hi ha fins i tot que suposen que existeix el Conjunt Universal)
2. Encara suposant que la teoria de ZF és la “bona”, hi ha coses que són independents d’ella: la hipòtesi del continu, l’existència de cardinals grans, etc. Per tant, un altre cop a elegir. Per tant, pareix que tenim tantes fonamentacions com teories axiomàtiques de conjunts poden fer
3. Pareix que no existeix una definició/descripció de què és un conjunt. Ho dic en el sentit que pareix que no podem distingir fàcilment entre una classe i un conjunt. Quina classe de propietat fa que {x | P(x)} sigui un conjunt o una classe?
4. Aparentment la lògica de primer ordre s’aplica a tot, fins i tot a la consistència, independència axiomàtica, etc. dels conjunts, però ¿no utilitza la lògica la teoria de conjunts? (simplement per exemple per definir una fórmula, un model, etc. s’empra el concepte del conjunt). No tenim una dependència cíclica: teoria de conjunts <–> lògica de primer ordre?
5. A més hi ha altres disciplines que intenten ajudar a fonamentar les matemàtiques: teoria de categories, lògica algebraica, lògica universal, lògica borrosa, lògica multivaluada, lògica infinitària (nombre infinit de connectius a les fórmules), etc. Però crec que totes aquestes matèries tenen com a fonament la teoria de conjunts/classes (les utilitzen en qualque moment donat)

No sé no vos pareix que esteim un poc en bolquers sobre aquest tema? Algú em pot fer quatre cèntims de com estar la cosa i els fonaments sòlids que tenim per fundar les bases de les matemàtiques? O com a mínim que li pareix tot plegat? Gràcies.