Els fonaments de les Matemàtiques
M’agradaria saber si algú sap quin són els fonaments reals de les Matemàtiques. M’explic: sempre se’ns ha explicat que totes les matemàtiques es poden fonamentar amb la teoria de conjunts i la lògica, però tenc alguns reticències. Corregiu-me si m’equivoc:
- En primer lloc, la teoria de conjunts no té una sola axiomatització: hi ha la més coneguda axiomatització de Zermelo-Fraenkel, la de Neuman-Bernays-Gödel i moltes altres (n’hi ha fins i tot que suposen que existeix el Conjunt Universal)
- Encara suposant que la teoria de ZF és la “bona”, hi ha coses que són independents d’ella: la hipòtesi del continu, l’existència de cardinals grans, etc. Per tant, un altre cop a elegir. Per tant, pareix que tenim tantes fonamentacions com teories axiomàtiques de conjunts poden fer
- Pareix que no existeix una definició/descripció de què és un conjunt. Ho dic en el sentit que pareix que no podem distingir fàcilment entre una classe i un conjunt. Quina classe de propietat fa que {x | P(x)} sigui un conjunt o una classe?
- Aparentment la lògica de primer ordre s’aplica a tot, fins i tot a la consistència, independència axiomàtica, etc. dels conjunts, però ¿no utilitza la lògica la teoria de conjunts? (simplement per exemple per definir una fórmula, un model, etc. s’empra el concepte del conjunt). No tenim una dependència cíclica: teoria de conjunts <–> lògica de primer ordre?
- A més hi ha altres disciplines que intenten ajudar a fonamentar les matemàtiques: teoria de categories, lògica algebraica, lògica universal, lògica borrosa, lògica multivaluada, lògica infinitària (nombre infinit de connectius a les fórmules), etc. Però crec que totes aquestes matèries tenen com a fonament la teoria de conjunts/classes (les utilitzen en qualque moment donat)
No sé no vos pareix que esteim un poc en bolquers sobre aquest tema? Algú em pot fer quatre cèntims de com estar la cosa i els fonaments sòlids que tenim per fundar les bases de les matemàtiques? O com a mínim que li pareix tot plegat? Gràcies.
[…] Here’s another interesting post I read today by Xavi […]
5 Gener 2008, 5:34 amHola Xavi. Aquest a mi sempre m’ha parescut un tema molt interessant. Molt lluny de poder contestar les teves preguntes m’agradaria afegir-ne una altra: podem definir des de zero una cosa?
5 Gener 2008, 10:11 amPer fer una analogia, guardant les distàncies, a mi m’agrada pensar en com podem crear un diccionari (de la llengua que vulguem) des de zero sense caure en referències cícliques. Com definim la primera paraula? Encara no en tenim d’altra que puguem emprar ni podem definir-la utilitzant la pròpia paraula. Com ho podem fer? Jo crec que no se pot, però això no és més que una opinió que no té més suport que el meu sentit comú (que no és gens fiable). El que vull dir és que quan començam a fer-nos preguntes a aquests nivells crec que entram al terreny de la filosofia de les matemàtiques (que per altra banda ja t’he dit que ho trob molt interessant i m’agradaria molt que la gent digués la seva).
Salutacions,
Félix.
Sobre el que és definible i no. Bé, sobre el diccionari que dius, sí que es pot fer sense parlar: m’explic com saben els nins petits que una cosa és un arbre i una altra no: doncs assenyalen l’arbre i li diuen “arbre” i ell fixa la relació “arbre” amb l’objecte. Això crec que només serveix per les primeres paraules, perquè tots els altres matisos (mata, gran, ….) els aprenen amb el llenguatge.
No sé, crec que s’ha de menester un altre llenguatge per definir totalment un llenguatge.
Però una cosa és definir i un altre descriure o caracteritzar. Segurament podràs dir que arbre és la paraula que compleix certa propietat al diccionari (certa propietat cíclica). Això és descriure. I la podràs caracteritzar si proves que és la única que compleix aquesta propietat.
Això és una tàctica que s’empra molt a la lògica i a altres teories. De vegades no podem dir què és una cosa (definició) però sí la podem descriure o caracteritzar.
Sobre el comentari de la filosofia de les matemàtiques: de vegades sospit que a les nocions fonamentals ens perdem en divagacions filosòfiques perquè encara no sabem què feim, per què nosaltres podem fer meta-matemàtiques i no podem expressar això…. no sé, és apassionant. Segur que la filosofia (de les matemàtiques) aporta coses molt riques a la discussió, però que un no ho formalitza tot no s’adona que només és un punt de vista….
Uf!,
6 Gener 2008, 6:02 amHola:
7 Gener 2008, 8:32 amnavegando por la red he visto tu blog, me he parado para descansar y lo he explorado, me gusta mucho. Ahora continuo mi viaje. Cuando quieras ven a ver mi blog.
Ciao
Bé, gian, gràcies.
7 Gener 2008, 11:04 amPer cert, me podries dir d’on has vengut a parar a la meva pàgina?
Ah!, ja he visitat el teu blog. Molt mediàtica.
Ai! Em sap greu, la qüestió dels fonaments de les matemàtiques m’interessava molt quan era estudiant, i llegia Wittgenstein i Russell i Lakatos (buf, què tenia de temps, llavors!), però amb l’edat, i a mida que he anat treballant en temes més aplicats i amb gent amb la qual, quan demostres un teorema, et diuen “està molt bé, però ara em pots donar un exemple que mostri que això és vertader?” m’ha anat interessant menys i menys.
La pregunta clau crec que és (era) si els conceptes matemàtics existeixen i els descobrim, o si els inventam. En el primer cas, hi ha d’haver una fonamentació correcta única, que trobarem o no, qui sap. A la segona, les mates són un joc i la fonamentació les regles: cap conjunt de regles és millor que un altre mentre no generi dois.
9 Gener 2008, 12:29 pmXesc, un altre cop gràcies pels comentaris.
Sobre el que dius, a veure, jo crec que els conceptes matemàtics existeixen i els descobrim però sempre que tenguem un sistema formal on hi apareguin.
A veure si m’explic: a la teoria de grups els resultats són els que són, als espais vectorials o els topològics, els resultats són els que són. Si un agafa la teoria corresponent, els resultats i els conceptes són inherents a la teoria. No et pots inventar un concepte (i resultats) que ja no hi siguin de qualque manera. Són conseqüència dels axiomes de la teoria.
Però bé, qui elegeix els axiomes? Aquí és on crec que podem tenir alguna llibertat: podem elegir els axiomes que volem i les seves regles d’inferències. Si per exemple no collim l’axioma d’elecció, tendrem unes matemàtiques; si l’agafam en tendrem unes altres, etc.
Bé, però jo no volia anar per aquí, volia anar a com saber quin són els primers conceptes que fan que poguem fer tot això. Tots pensem que tota la matemàtica depèn de la rigurositat de la lògica i la teoria de conjunts. Però què fa servir la lògica i teoria de conjunts: conjunts. Però els axiomes per definir-los són arbitraris (o no?).
A veure amb altres paraules: de quin concepte/s depèn la matemàtica per a fonamentar-se?
10 Gener 2008, 9:33 amXavi,
la pregunta que t’has de fer és “Existeix un conjunt no numerable de cardinal estrictament més petit que el del conjunt dels nombres reals?”. I després demanar-te “Què m’estic demanant amb aquesta pregunta?”. Si creus que la primera pregunta té una resposta definitiva sí o no, aleshores té sentit demanar-se quins són els fonaments bàsics de les matemàtiques, els àtoms i les lleis bàsiques de les quals tota la resta de conceptes i resultats es deriven. Però si cerus que la primera pregunta té resposta “Depèn de l’axiomàtica”, aleshores agafa el conjunt d’axiomes i definicions bàsiques que més t’agradi i a córrer.
Jo crec que la els conceptes de conjunt, pertinença i classe basten, els Fundamenta de Russell i Whitehead els empraven (a canvi de no poder demostrar que 1+1=2 fins el teorema mil-i-pico). Els axiomes són, pel meu gust, arbitraris.
Per cert, no està tan clar que les propietats siguin les que siguin: per exemple, hi ha propietats de grups o d’espais topològics que requereixen l’axioma d’elecció.
10 Gener 2008, 10:58 amHo sigui que segons tu tota la matemàtica es pot fonamentar en els conceptes de pertinença, conjunt i classe + axiomes arbitràriament escollits?
11 Gener 2008, 8:16 amAi! Bé, et cal el concepte de vertader i de fals. I jo estava pensant en l’aritmètica, per a la geometria si la vols fer axiomatica et caldran punts, rectes, no sé. No ho se, mira, si tens temps, els Principia Mathematica, que no crec que hagin encara estat superats, són accessibles en línia a
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0001.001
D’altre banda, també has de recordar els teorema d’incompletesa de Gödel: mai no podràs demostrar totes les fórmules vertaderes sense demostrar-ne també alguna de falsa. El que dic, et cal decidir els axiomes com si de regles de joc es tractàs.
11 Gener 2008, 12:12 pmA veure, el concepte de veritat no depèn del concepte de pertinença (almenys a la lògica que conec fins ara)? Crec recordar que bàsicament per definir que una fórmula era veritat o no (en el sentit de models; no de deduccions ja que per Gödel no té molt de sentit definir veritat via deduccions) s’empraven valuacions (crec que tenien un altre nom) de la fórmula i es deia que la fórmula era veritat quan per a tots els models les valuacions eren 1.
Per definir què és una fórmula, ens fa falta el concepte de successió finita si més no, que depèn del concepte de conjunt (conjunt de símbols almenys)
Per definir una valuació ens farà falta el conjunt {0,1} (això si empran valuacions clàssiques de vertader i fals i no borroses) i el concepte d’aplicació. Tot això una altra vegada depèn dels conjunts.
I per definir model ni te dic tot el que hem d’emprar.
Per tant, i això és el que em desconcerta: la lògica depèn del concepte de conjunt. Però el concepte de conjunt s’aconsegueix amb un sistema formal (per tant lògica) i es proven coses (lògicament parlant) en aquesta teoria. No és un poc cercle viciós?
Realment no tenim un concepte mare sinó dos (veritat + conjunt)?
12 Gener 2008, 4:27 am[…] L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les Matemàtiques…. doncs bé, aprofitant aquesta dèria temporal que m’ha agafat, he llegit uns quants articles sobre teories alternatives a l’estàndard teoria de conjunts de Zermelo-Frankel (no els suficients!), i he caigut en teories que neguen l’axioma de regularitat (o de fundació). […]
8 Febrer 2008, 1:48 pm[…] dia em demanava sobre els fonaments de les matemàtiques. Hi ha haver molta retroacció entre els blogxeixers i en Félix va apuntar sobre si es podia o no […]
23 Febrer 2008, 3:06 am