Per definir què és una fórmula, ens fa falta el concepte de successió finita si més no, que depèn del concepte de conjunt (conjunt de símbols almenys)
Per definir una valuació ens farà falta el conjunt {0,1} (això si empran valuacions clàssiques de vertader i fals i no borroses) i el concepte d’aplicació. Tot això una altra vegada depèn dels conjunts.
I per definir model ni te dic tot el que hem d’emprar.

Per tant, i això és el que em desconcerta: la lògica depèn del concepte de conjunt. Però el concepte de conjunt s’aconsegueix amb un sistema formal (per tant lògica) i es proven coses (lògicament parlant) en aquesta teoria. No és un poc cercle viciós?

Realment no tenim un concepte mare sinó dos (veritat + conjunt)?

D’altre banda, també has de recordar els teorema d’incompletesa de Gödel: mai no podràs demostrar totes les fórmules vertaderes sense demostrar-ne també alguna de falsa. El que dic, et cal decidir els axiomes com si de regles de joc es tractàs.

Jo crec que la els conceptes de conjunt, pertinença i classe basten, els Fundamenta de Russell i Whitehead els empraven (a canvi de no poder demostrar que 1+1=2 fins el teorema mil-i-pico). Els axiomes són, pel meu gust, arbitraris.

Per cert, no està tan clar que les propietats siguin les que siguin: per exemple, hi ha propietats de grups o d’espais topològics que requereixen l’axioma d’elecció.

A veure si m’explic: a la teoria de grups els resultats són els que són, als espais vectorials o els topològics, els resultats són els que són. Si un agafa la teoria corresponent, els resultats i els conceptes són inherents a la teoria. No et pots inventar un concepte (i resultats) que ja no hi siguin de qualque manera. Són conseqüència dels axiomes de la teoria.

Però bé, qui elegeix els axiomes? Aquí és on crec que podem tenir alguna llibertat: podem elegir els axiomes que volem i les seves regles d’inferències. Si per exemple no collim l’axioma d’elecció, tendrem unes matemàtiques; si l’agafam en tendrem unes altres, etc.

Bé, però jo no volia anar per aquí, volia anar a com saber quin són els primers conceptes que fan que poguem fer tot això. Tots pensem que tota la matemàtica depèn de la rigurositat de la lògica i la teoria de conjunts. Però què fa servir la lògica i teoria de conjunts: conjunts. Però els axiomes per definir-los són arbitraris (o no?).

A veure amb altres paraules: de quin concepte/s depèn la matemàtica per a fonamentar-se?

La pregunta clau crec que és (era) si els conceptes matemàtics existeixen i els descobrim, o si els inventam. En el primer cas, hi ha d’haver una fonamentació correcta única, que trobarem o no, qui sap. A la segona, les mates són un joc i la fonamentació les regles: cap conjunt de regles és millor que un altre mentre no generi dois.