Blog d’en Xavi

Segurament recordau que en la carrera de Matemàtiques vos varen parlar sobre cardinals i sobre un teorema bastant trascendent: els nombres reals no són enumerables.

Segurament també recordeu que aquest teorema de fet demostrava que el conjunt [0, 1] no és enumerable. I supòs que segurament la demostració d’aquest fet es va fer utilitzant l’arxiconegut argument de la diagonal de Cantor.

I segurament n’hi ha haver alguns (una minoria, segurament) a la classe que no el varen acabar d’entendre o que no hi varen estar d’acord.

Almenys a la UIB hi havia un element d’aquest darrer grup (jo; i em pareix recordar que en Félix). L’argument per estar-hi en contra era molt simple: si per hipòtesi es suposa que R es pot enumerar amb , < … < < …. , ¿com es pot construir un amb ( no existiria per hipòtesi)?

Bé, fos o no aquesta raó o una altra que teníeu per estar-hi en contra, segurament vos vàreu quedar amb un dubte raonable de la validesa d’aquest teorema (fins a obtenir-ne una altra i “vertadera” demostració). Doncs bé, ahir llegint aquest llibre, en vaig trobar una altra (que de fet, he trobat reproduïda i aclarada a la Wikipedia):

The theorem

Suppose a set R

1. is linearly ordered, and
2. contains at least two members, and
3. is densely ordered, i.e., between any two members there is another, and
4. has the following least upper bound property. If R is partitioned into two nonempty sets A and B in such a way that every member of A is less than every member of B, then there is a boundary point c (in R), so that every point less than c is in A and every point greater than c is in B.

Then R is not countable.

The set of real numbers with its usual ordering is a typical example of such an ordered set R; other examples are real intervals of non-zero width, possibly with half-open gaps. The set of rational numbers (which is countable) has properties 1, 2, and 3 but does not have property 4.

The proof

The proof is by contradiction. It begins by assuming R is countable and thus that some sequence x₁, x₂, x₃, … has all of R as its range. Define two other sequences (a_n) and (b_n) as follows:

Pick a₁ < b₁ in R (possible because of property 2).

Let a_{n + 1} be the first element in the sequence x that is strictly between a_n and b_n (possible because of property 3).

Let b_{n + 1} be the first element in the sequence x that is strictly between a_{n + 1} and b_n.

The two monotone sequences a and b move toward each other. By the completeness of R, some point c must lie between them. (Define A to be the set of all elements in R that are smaller than some member of the sequence a, and let B be the complement of A; then every member of A is smaller than every member of B, and so property 4 yields the point c.) Since c is an element of R and the sequence x represents all of R, we must have c = x_i for some index i (i.e., there must exist an x_i in the sequence x, corresponding to c.) But, when that index was reached in the process of defining the sequences a and b, c would have been added as the next member of one or the other sequence, contrary to the fact that c lies strictly between the two sequences. This contradiction finishes the proof.

Avui he mirat el llistat de les paraules que les persones introdueixen als motors de cerca just abans d’anar a parar al meu blog (el podeu veure aquí). M’he fixat en la paraula “perpendicularitat” i he comprovat efectivament que el meu blog està en bona posició quan cerquem aquesta paraula al Google…..

Bé, res al que anava…. durant aquesta cerca m’he trobat aquest pàgina de dibuix tècnic, que pos a la vostra disposició. Tot això si ho disfrassem com a què la Geometria euclidiana té molt que veure amb el dibuix tècnic, ja tenim una entrada matemàtica!

L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les matemàtiques. Hi va haver molta retroacció entre els blogxeixers, i en Félix va apuntar sobre si es podia o no definir els conceptes matemàtics. Jo li vaig respondre que en la meva opinió no (a no ser amb l’ús d’un llenguatge extern) però sí que es podien descriure (trobar les propietats que compleixen aquestes objectes) o caracteritzar (aclarir que aquests objectes són els únics que compleixen certes propietats).

Mentres deia tot això estava pensant en els sistemes formals i en caracteritzar els objectes amb l’ajuda de fórmules (p.e. “R és l’únic grup commutatiu que compleix….”). Bé, doncs ara afegeix un altre element a la discussió: caracteritzar-los mitjançant els morfismes entre aquests.

Qualsevol estructura té uns morfismes que preserven les propietats entre aquests (els homeomorfismes són els morfismes entre espais topològics, els morfismes de grups preserven l’estructura de grup, les funcions monòtones preserven l’ordre, etc.). Per tant es pot estudiar l’estructura estudiant els seus morfismes. I comparar estructures comparant els morfismes entre aquests.

Aquesta és la idea de la Teoria de Categories (Xesc, corregeix-me si m’equivoc!). I hi ha tendències a la lògica que volen fonamentar-la en la teoria de categories: Teoria de Conjunts Algebraica, Institucions (generalitzacions de la lògica mitjançant categories), Topos, etc.

No he tengut molt de temps de llegir els detalls tècnics, encara que l’important és que tenim una altra eina per descriure els objectes. Si algú té temps i ganes pot contribuir fent-nos 4 cèntims? O bé dir-nos on podem començar a llegir per entendre una mica de tot?

Xavi

PS: Un llibre que està prou bé (cobriria just les ensenyances d’en Joan Torrens a Àlgebra III de l’extingit pla d’estudis de la Llicenciatura de Matemàtiques però és accessible i planer) és “Basic Category Theory for Computer Scientists” de Benjamin C. Pierce (no el cerqueu a la biblioteca, el tenc fins dia 10 de març! ;-))

Molta gent sap que l’aigua que deixam anar pel forat del lavabo “gira cap a la dreta” a l’hemisferi nord, i “gira cap a l’esquerra” a l’hemisferi sud (de la Terra). Això està produït pel moviment de rotació de la Terra i és conseqüència de l’anomenat Efecte de Coriolis.

De fet hi ha una excursió a l’equador terrestre per veure el canvi d’aquest efecte: els assistents passegen des de l’hemisferi nord fins a l’hemisferi sud just passant per damunt l’equador terreste. A cada part veuen com “gira” l’aigua i que just damunt l’equador no ho fa.

L’altre dia me vaig demanar si la velocitat d’aquest “gir” depenia de la latitud terrestre (a l’equador no gira, i quan més al nord o més al sud més marcada és aquesta tendència) i les aplicacions per mesurar-la de forma precisa (amb un làsser per exemple) i poder calcular la latitud terrestre on ens trobam

Encara no he trobat la resposta, encara que intuesc que sí, sobretot per les mateixes aplicacions del Pèndul de Foucault (que es basa en els mateixos principis):

Un péndulo de Foucault situado en el ecuador no rota. Un péndulo situado en uno de los polos rota una vez al día. Un péndulo situado en cualquier otro punto de la Tierra rota con una velocidad inversamente proporcional al seno de su latitud, o bien proporcional a la cosecante de la latitud; de modo que si se sitúa a 45° rota una vez cada 1,4 días y a 30° cada 2 días.

Algú s’ha demanat per què és tan difícil d’entendre la llei de proporcionalitat inversa (per part dels alumnes de ESO)? Voldria fer dues reflexions sobre això:

1. En primer lloc, la hem d’explicar. Vull dir:
   • Hi ha un salt qualitatiu entre la llei de proporcionalitat directa i inversa, i sempre se té la sensació que hi ha molta gent que en el tema de Proporcionalitat no entén ni el concepte ni el procediment (que per cert és molt artificial).
   • No s’hauria d’esperar un poc per explicar aquesta llei (quan sapiguessin el concepte de funció i estiguessin familiaritzats amb les funcions f(x) = k/x), sobre 4t d’ESO?
   • Realment fa falta explicar-la?: quantes aplicacions coneixeu de les magnituds inversament proporcionals a nivell d’ESO (tant a la vida real com al propi temari de les matemàtiques: on més s’usa?)?. De fet a mi no me la varen ensenyar mai. Me va bastar saber la proporcionalitat directa i saber que inversament proporcional = va amb la llei f(x) = k/x (que per cert, me varen ensenyar a física de segon de BUP)
2. En segon lloc, no la podríem reduir a un problema de proporcionalitat directa?. Com ho faríeu de forma natural? Se m’ocorr fer-ho amb puntuacions. Per concretar, podríem fer servir aquest problema:

Una associació de Matemàtics (!) decideix donar un premi al millor docent. Decideix repartir 240 euros en 3 premis de manera inversament proporcional a la posició del docent. Quants de doblers se’n pot endur un docent segons el lloc que ocupi?

Com a problema de proporcionalitat inversa, el problema és clar (ho poso a nivell formal):

Sigui f(x) = doblers que se’n dur una persona si queda en el lloc x.

Aleshores f(1) + f(2) + f(3) = 240

Com que f(x) és inversament proporcional, f(2) = f(1)/2, f(3) = f(1)/3. Per tant, (1+1/2+1/3) f(1) = 240, pel que f(1) = 240/11.

D’aquí f(2) = 120/11, f(3) = 240/33

Però podríem veure el problema com puntuar els docents. Suposem que a cada docent se li dóna una sèrie de punts (positius o zero) en funció de la posició on quedi: per quedar primer tenim molta puntuació, per quedar segon n’hem de tenir menys, i per quedar segon, molt menys. Si deim P(x) = punts que assignam per quedar a la posició x, tenim que l’assignació de P(1), P(2) i P(3) es fa per la llei de proporcionalitat inversa, però el problema, com a problema de punts, ja es veu com a directa (”si tens tots els punts, te’n duus tot el premi, aleshores si tens, 10 punts, …”) que crec que és més fàcil d’entendre que abans (com explicaríeu que f(1) + f(2) + f(3) = 240 en una frase?).

Per cert, com assignar P(1)?

No sé, què trobau de tot plegat?

Actualització: Realment, allà on diu “proporcionalitat inversa”, hauria de dir “repartiments inversament proporcional” (el problema dels obrers serveix per qualque cosa)

Qui té els drets d’autor del material explicat a les classes? O sigui, si vos fan una classe per exemple de teoria de conjunts: a) el professor ha de citar les fonts d’on ha tret certs materials?, b) si un alumne publica els seus apunts, ha de dir que vénen de la classe del professor X?, ….

Tot això són drets morals, bàsicament el dret de paternitat (que crec que són els únics que es poden aplicar a les Matemàtiques: no es poden patentar (¿ni tenir drets de patrimonials?) les fórmules matemàtiques), però si envers de fer una classe de Matemàtiques feim una classe de Literatura? Tenim sempre dret de cita?

Com està tot això legalment? Algú ho sap?

L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les Matemàtiques…. doncs bé, aprofitant aquesta dèria temporal que m’ha agafat, he llegit uns quants articles sobre teories alternatives a l’estàndard teoria de conjunts de Zermelo-Frankel (no els suficients!), i he caigut en teories que neguen l’axioma de regularitat (o de fundació).

Això m’ha recordat a vells coneguts i he pensat que si definissim una estructura artiniana com una estructura A tal que compleix la condició de cadena descendent per a qualsevol successió tals que pertanyen a (amb < com a ordre de la cadena) (per exemple un anell artinià seria una estructura artiniana amb A = l’anell, com el conjunt d’ideals de A i < com a )…. Bé doncs si definissim això tendríem que els conjunts com a teoria de ZF és una estructura artiniana (amb A=conjunt, , < com a la inclusió de conjunts). Es podria investigar la connexió….

Per cert, on puc trobar més referències sobre hiperconjunts i coses per l’estil? Algú m’ho pot dir?

Fa temps que me deman el mateix: hi ha alguna revista de matemàtiques per al públic general?

Realment mai he trobat cap revista de contingut matemàtic per al públic general que sigui fàcilment accessible (per exemple en quioscos). No m’estic referint a revistes de matemàtiques per matemàtics (que n’hi ha però no als quioscos), sinó a revistes per la gent corrent.

Si anau a un quiosc qualsevol hi ha revistes per a tota classe de gustos: de vela, de costura, de música, de llibres, d’informàtica, de cuina, de viatges, de tatuatges, de drogues, de boxa, de moda, d’astronomia, de ciència en general (”Investigación y Ciencia” i “Mundo científico”), etc. Però no n’hi ha cap de matemàtiques (fins i tot a les de ciència en general només hi ha una pàgina de puzzles matemàtics al final). Cap que expliqui problemes, trencaclosques, algun teorema xocant de matemàtiques… coses que a un matemàtic no li està de més saber, o que sap, però que sorprenen a la gent corrent (a l’estil dels llibres de n’Ian Stewart potser).

Per què? Potser per què les matemàtiques no han assolit el reconeixement social que tenen altres coses. Falta que es popularitzin, que es reconegui que les matemàtiques són útils, que hi ha matemàtiques en tot (com actualment passa amb la informàtica o amb la biologia crec). O, més difícil, que es reconegui la seva vessant lúdica i de diversió (per així comprar una revista de matemàtiques com la gent compra una revista de costura o uns passatemps).

Potser hem de tenir esperança en aquest darrer sentit (el vessant lúdic) perquè ara fa poc s’han popularitzat els jocs competitius que requereixen pensar un poc (Sudoku, Brain X…)

Què trobau de tot? Algun dia trobarem al quiosc del barri una revista que es tituli “CosmoMatemáticas” ?

Encara que és una notícia biològica crec que és rellevant: alguns científics volen obtenir òvuls a partir d’espermatozoides i a l’inrevés. Això obra una gran possibilitat: ser pare i mare del mateix individu: jo pos un espermatozoide, d’aquest em fabriquen un òvul, el dupliquen unes quantes vegades fins que hi hagi algunes mutacions, i després és fecundat pel meu espermatozoide. El resultat un fill de pare i mare jo mateix (el procés pel qual fan que hi hagi mutacions és per no reproduir-me en consanguinitat i tenir més possibilitat de tenir fills amb certes malalties). Crec que així l’únic que ens faria falta seria un úter femeni per acollir el cigot.

Bé, curositats de la ciència!