Llei de proporcionalitat inversa i directa
Algú s’ha demanat per què és tan difícil d’entendre la llei de proporcionalitat inversa (per part dels alumnes de ESO)? Voldria fer dues reflexions sobre això:
- En primer lloc, la hem d’explicar. Vull dir:
- Hi ha un salt qualitatiu entre la llei de proporcionalitat directa i inversa, i sempre se té la sensació que hi ha molta gent que en el tema de Proporcionalitat no entén ni el concepte ni el procediment (que per cert és molt artificial).
- No s’hauria d’esperar un poc per explicar aquesta llei (quan sapiguessin el concepte de funció i estiguessin familiaritzats amb les funcions f(x) = k/x), sobre 4t d’ESO?
- Realment fa falta explicar-la?: quantes aplicacions coneixeu de les magnituds inversament proporcionals a nivell d’ESO (tant a la vida real com al propi temari de les matemàtiques: on més s’usa?)?. De fet a mi no me la varen ensenyar mai. Me va bastar saber la proporcionalitat directa i saber que inversament proporcional = va amb la llei f(x) = k/x (que per cert, me varen ensenyar a física de segon de BUP)
- En segon lloc, no la podríem reduir a un problema de proporcionalitat directa?. Com ho faríeu de forma natural? Se m’ocorr fer-ho amb puntuacions. Per concretar, podríem fer servir aquest problema:
Una associació de Matemàtics (!) decideix donar un premi al millor docent. Decideix repartir 240 euros en 3 premis de manera inversament proporcional a la posició del docent. Quants de doblers se’n pot endur un docent segons el lloc que ocupi?
Com a problema de proporcionalitat inversa, el problema és clar (ho poso a nivell formal):
Sigui f(x) = doblers que se’n dur una persona si queda en el lloc x.
Aleshores f(1) + f(2) + f(3) = 240
Com que f(x) és inversament proporcional, f(2) = f(1)/2, f(3) = f(1)/3. Per tant, (1+1/2+1/3) f(1) = 240, pel que f(1) = 240/11.
D’aquí f(2) = 120/11, f(3) = 240/33
Però podríem veure el problema com puntuar els docents. Suposem que a cada docent se li dóna una sèrie de punts (positius o zero) en funció de la posició on quedi: per quedar primer tenim molta puntuació, per quedar segon n’hem de tenir menys, i per quedar segon, molt menys. Si deim P(x) = punts que assignam per quedar a la posició x, tenim que l’assignació de P(1), P(2) i P(3) es fa per la llei de proporcionalitat inversa, però el problema, com a problema de punts, ja es veu com a directa (”si tens tots els punts, te’n duus tot el premi, aleshores si tens, 10 punts, …”) que crec que és més fàcil d’entendre que abans (com explicaríeu que f(1) + f(2) + f(3) = 240 en una frase?).
Per cert, com assignar P(1)?
No sé, què trobau de tot plegat?
Actualització: Realment, allà on diu “proporcionalitat inversa”, hauria de dir “repartiments inversament proporcional” (el problema dels obrers serveix per qualque cosa)
Hola Xavi.
18 Febrer 2008, 12:58 pmEstava escrivint un comentari quan he vist la teva actualització així que m’estalviaré posar exemples de magnituds inversament proporcionals útils a la vida quotidiana. Quant als repartiments inversament proporcionals jo desconec aplicacions pràctiques a la vida diària (tal vegada un economista ens pugui aclarir si s’utilitza això de repartir de manera inversament proporcional). No obstant això, estàs segur que hem d’ensenyar repartiments inversament proporcionals a ESO? D’on ho treus?
Casualment els alumnes de 1r d’ESO tenen demà un examen de problemes de proporcionalitat directa i inversa (que resolem emnprant la regla de tres directa o inversa o la reducció a la unitat). Podríem discutir si els problemes són molt artificials però no els costa gaire entendre que si 10 obrers tarden 7 dies en acabar una feina 5 obrers necessitaran 14 dies per enllestir la mateixa feina, per exemple. Aquest tema no sol ser un problema pels alumnes si el comparam amb els que tenc explicant nombres enters, racionals o àlgebra.
19 Febrer 2008, 4:44 amPer tant, no sé si a la vida diària es trobaran moltes vegades amb aquest tipus de problemes però per l’experiència que tenc no els costa excessivament resoldre’ls. Possiblement les coses es compliquen al arribar a les funcions de proporcionalitat inversa i la seva representació a tercer o quart d’ESO.
Gràcies per reflexionar al voltant del que fem a les nostres classes.
En primer lloc, gràcies a tots dos per contestar.
Félix: em pareix recordar que a segon d’ESO feia alguns problemes de repartiments inversament proporcionals.
Miquel: sí, els problemes de proporcionalitats inversa encara que són un poc artificials s’entenen. El problema crec jo ve quan arribes a problemes de repartiments inv. proporcionals. Allà si que hi ha embull.
Per altra banda, es podria “esperar” i no ensenyar proporcionalitat inversa (només directa), fer representacions (i veure f(x) = k/x com una mes) i quan vessin equacions veure la llei de proporcionalitat inversa com la combinació entre una equació i una funció. No sé.
Pretenia transformar els problemes de repartiments inv. proporcionals en alguna cosa més natural.
Gràcies per tot,
19 Febrer 2008, 8:52 amXavi
Hola un altre pic. Xavi, et demanava si estaves segur que havíem d’ensenyar repartiments inversament proporcionals perquè (corregiu-me si m’equivoc) el currículum de Matemàtiques d’ ESO no diu res d’això. És ben cert que moltes editorials inclouen problemes de repartiments inversament proporcionals als seus llibres de text. Jo també soc de la opinió que són problemes molt artificials i que no tenen una aplicació pràctica evident (a l’espera que qualcú ens conti que va haver d’utilitzar-lo per qualque cosa). Per tant, jo no faria aquests problemes a classe i em preocuparia més per veure si han entès el concepte de proporcionalitat ( sí, se pot fer això de no donar tot el que diu el llibre de text
).
19 Febrer 2008, 10:06 amSalutacions,
Félix.
Hola Félix,
No t’havia entès. Ara ja sé que vols dir i estic totalment d’acord. Encara que sigui políticament incorrecte, fins i tot hi ha coses del currículum que no donaria. Però, bé, això és una altra història…..
Gràcies,
19 Febrer 2008, 10:38 amXavi