Comentaris a: Una demostració alternativa de què R no és numerable http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/ El blog del soci núm. 79 Fri, 21 Nov 2008 22:17:08 +0000 http://wordpress.org/?v=wordpress-mu-1.2.1 Per: Xavi http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-352 Xavi Tue, 04 Mar 2008 16:01:46 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-352 Bé Xesc, en primer lloc benvingut de nou. En segon lloc no t'acab t'entendre: quin problema hi ha a la demostració? Per altra banda si vols agafar una altra ordenació Q i fer el suprem no passarà res. Hi haurà un altre c que no serà de Q (de fet n'hi ha bastants!). No sé, no acab de veure el que dius. Ho pots dir més clar? Per altra banda, a la carrera potser ens faria falta assustar-nos i no quedar-nos amb el dubte de si l'argument diagonal és vàlid o no. Si per provar ben provat que [0,1] no és numerable hem de provar que: 1) [0, 1] és isomorf a 2^N (el conjunt de successions amb elements a {0,1}) i que això a la vegada és isomorf a P(N) 2) Card(P(N)) > Card(N) (teorema de Cantor: http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem) 3) Per tant [0, 1] no és numerable doncs provem-ho! Moltes vegades es vol "enganyar" als alumnes i pens que és un error. Les simplificacions moltes vegades fan que els alumnes no adquireixin l'essència dels objectes que es tracta (i ho dic a tots els nivells). D'aquesta manera només s'aconsegueix que es generin dos bitxos raros com en Félix i jo ;-) Bé Xesc, en primer lloc benvingut de nou.
En segon lloc no t’acab t’entendre: quin problema hi ha a la demostració? Per altra banda si vols agafar una altra ordenació Q i fer el suprem no passarà res. Hi haurà un altre c que no serà de Q (de fet n’hi ha bastants!).
No sé, no acab de veure el que dius. Ho pots dir més clar?

Per altra banda, a la carrera potser ens faria falta assustar-nos i no quedar-nos amb el dubte de si l’argument diagonal és vàlid o no. Si per provar ben provat que [0,1] no és numerable hem de provar que:
1) [0, 1] és isomorf a 2^N (el conjunt de successions amb elements a {0,1}) i que això a la vegada és isomorf a P(N)
2) Card(P(N)) > Card(N) (teorema de Cantor: http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem)
3) Per tant [0, 1] no és numerable

doncs provem-ho!
Moltes vegades es vol “enganyar” als alumnes i pens que és un error. Les simplificacions moltes vegades fan que els alumnes no adquireixin l’essència dels objectes que es tracta (i ho dic a tots els nivells).

D’aquesta manera només s’aconsegueix que es generin dos bitxos raros com en Félix i jo ;-)

]]> Per: cesc http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-347 cesc Tue, 04 Mar 2008 13:00:22 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-347 Hola Xavi sí, feia segles que no passava per aquí, estic massa liat i com sempre, lo urgent impedeix que em dediqui a lo important. A banda que m'agraden els arguments diagonals (i sí, de vegades són més complicats que la versió light que se'n dóna a classe. ho fem per no espantar-vos), aquesta demostració que proposes també té els seus punts foscos. Perquèx no pot anar despres de atotes les as i totes les bs? Els racionals són numerables, podríem fer una numeració on primer anassin tots els racionals entre 0 i 1 i després la resta (els ordenam primer per valor absolut i per signe, jo què sé). Considera ara les sucessions a_0=0, b_0=1 a_{n+1}=(a_n+b_n)/2 b_{n+1}=(a_{n+1}+b_n)/2 i c (que serà no racional) els suprem dels (a_n)_n. Ara canvia a Q el 2 per aquesta c, encara tenim un conjunt numerable. Considera una numeracio de (Q-{2})U{c} que comenci per a0,b0,a1,b1,a2,b2,a3,b3,.... i després segueixi c i la resta dels racionals. El conjunt es numerable, devem poder-ho fer. Amb aquesta numeracio de Q, partint de 0 i 1 trobaries les successions (a_n)_n i (b_n)_n descrites, mai no trobaries c, no hi ha contradiccio. Per què no podem prendre una aordenació de R similar? Vull dir, si no trob la contradiccio a (Q-{2})U{c}, no veig per què aquest argument dóna contradicció a R. No ho sé, aquests dies dedicat full time a les xarxes filogenètiques em poden haver embossat el meu sector analista del cervell (que sempre ha estat molt subdesenvolupat). Hola Xavi
sí, feia segles que no passava per aquí, estic massa liat i com sempre, lo urgent impedeix que em dediqui a lo important.

A banda que m’agraden els arguments diagonals (i sí, de vegades són més complicats que la versió light que se’n dóna a classe. ho fem per no espantar-vos), aquesta demostració que proposes també té els seus punts foscos. Perquèx no pot anar despres de atotes les as i totes les bs?

Els racionals són numerables, podríem fer una numeració on primer anassin tots els racionals entre 0 i 1 i després la resta (els ordenam primer per valor absolut i per signe, jo què sé).

Considera ara les sucessions
a_0=0, b_0=1
a_{n+1}=(a_n+b_n)/2 b_{n+1}=(a_{n+1}+b_n)/2

i c (que serà no racional) els suprem dels (a_n)_n. Ara canvia a Q el 2 per aquesta c, encara tenim un conjunt numerable. Considera una numeracio de (Q-{2})U{c} que comenci per
a0,b0,a1,b1,a2,b2,a3,b3,….
i després segueixi c i la resta dels racionals. El conjunt es numerable, devem poder-ho fer.

Amb aquesta numeracio de Q, partint de 0 i 1 trobaries les successions (a_n)_n i (b_n)_n descrites, mai no trobaries c, no hi ha contradiccio.

Per què no podem prendre una aordenació de R similar?
Vull dir, si no trob la contradiccio a (Q-{2})U{c}, no veig per què aquest argument dóna contradicció a R.

No ho sé, aquests dies dedicat full time a les xarxes filogenètiques em poden haver embossat el meu sector analista del cervell (que sempre ha estat molt subdesenvolupat).

]]> Per: Xavi http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-319 Xavi Fri, 29 Feb 2008 20:35:25 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-319 Si, i també record que estàvem junts a classe d'Anàlisi Complexa i en Marc el va utilitzar per provar no sé què de complexes... En general aquest argument s'utilitza per altres coses i no només per provar que R no és numerable (per exemple per provar que no totes les funcions són recursivament enumerables....). Per tant si no ens convenç aquest argument hauríem de cercar arguments equivalents distints per a cada demostració (el que és una matada). Sí, ara que ho dius, record el teu dubte. De fet el teu dubte està contemplat als llibres que demostren més formalment el teorema utilitzant la diagonal de Cantor: 0,5 i 0,499999999.... és el mateix nombre (en tant en quant si computes la sèrie et surt 0,5) El que es fa és elegir un dels dos o bé els dos. Realment si ho penses bé el que feim és per a cada nombre x real, tenim un conjunt de successions (format per dos nombres si el nombre és periòdic pur i 1 en cas contrari). Podem agafar les dues representacions, ja que el que ens interessa veure és que R no és numerable i per tant és un poc igual si es repeteixen nombres a la seva pressumpte enumeració. No sé, t'he aclarit el dubte? Sinó, doncs mira, agafem una altra representació. Per exemple de [0,1] podríem agafar aquesta representació per un nombre x qualsevol: per a x tendria una seqüència de {0,1}: x = (a_1,....., a_r, .....). a_1 seria 0 si x 0,5; a_2 seria 0 si x estaria a la primera meitat de l'interval [0, 1/2] i 1 si està a la segona meitat de [0, 1/2]..... etc. Està clar que aquesta aplicació és bijectiva. (no ho he provat!) Doncs amb aquesta ap. no tens aquest problema, ¿o sí?. Per altra part, aquí convenç l'argument de la diagonal? Xavi Si, i també record que estàvem junts a classe d’Anàlisi Complexa i en Marc el va utilitzar per provar no sé què de complexes… En general aquest argument s’utilitza per altres coses i no només per provar que R no és numerable (per exemple per provar que no totes les funcions són recursivament enumerables….). Per tant si no ens convenç aquest argument hauríem de cercar arguments equivalents distints per a cada demostració (el que és una matada).

Sí, ara que ho dius, record el teu dubte. De fet el teu dubte està contemplat als llibres que demostren més formalment el teorema utilitzant la diagonal de Cantor: 0,5 i 0,499999999…. és el mateix nombre (en tant en quant si computes la sèrie et surt 0,5) El que es fa és elegir un dels dos o bé els dos.

Realment si ho penses bé el que feim és per a cada nombre x real, tenim un conjunt de successions (format per dos nombres si el nombre és periòdic pur i 1 en cas contrari). Podem agafar les dues representacions, ja que el que ens interessa veure és que R no és numerable i per tant és un poc igual si es repeteixen nombres a la seva pressumpte enumeració.

No sé, t’he aclarit el dubte?

Sinó, doncs mira, agafem una altra representació. Per exemple de [0,1] podríem agafar aquesta representació per un nombre x qualsevol: per a x tendria una seqüència de {0,1}: x = (a_1,….., a_r, …..). a_1 seria 0 si x 0,5; a_2 seria 0 si x estaria a la primera meitat de l’interval [0, 1/2] i 1 si està a la segona meitat de [0, 1/2]….. etc.

Està clar que aquesta aplicació és bijectiva. (no ho he provat!)

Doncs amb aquesta ap. no tens aquest problema, ¿o sí?.
Per altra part, aquí convenç l’argument de la diagonal?

Xavi

]]> Per: Félix http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-317 Félix Fri, 29 Feb 2008 18:24:09 +0000 http://blogs.xeix.org/xavi/2008/02/28/una-demostracio-alternativa-de-que-r-no-es-numerable/#comment-317 Hola Xavi. Em toca participar, per al·lusions :-) Record perfectament que em va suposar un salt cognitiu haver de comprendre aquesta demostració (com tantes altres coses... això em passa per fer-me preguntes, si m'estigués quiet...) Però a més de la demostració de R no numerable a primer curs, record que estàvem junts a classe d'anàlisi de segon curs i la professora va emprar el mateix mètode de la diagonal de Cantor per fer la demostració a un altre conjunt numèric on les xifres només eren 0 i 1 (i no sé si també el 2, no ho record exactament). La qüestió que vaig plantejar és que depenent de com estiguessin ordenats els nombre podríem crear un nombre periòdic amb una expressió distinta però que ja estigués inclòs amb una altra expressió no periòdica. Per entendre'ns, ja sé que als real no pot passar si no escollim el 9, però és com si seguint el mètode de la diagonal ens quedés el nombre 0'4999999... que suposadament és distint a tos els de la llista per construcció, però a aquesta llista podria estar el nombre 0'5, que és el mateix i per tant no contradiria res. No sé si s'ha entès el que volia dir. Salutacions, Félix. Hola Xavi. Em toca participar, per al·lusions :-)
Record perfectament que em va suposar un salt cognitiu haver de comprendre aquesta demostració (com tantes altres coses… això em passa per fer-me preguntes, si m’estigués quiet…)
Però a més de la demostració de R no numerable a primer curs, record que estàvem junts a classe d’anàlisi de segon curs i la professora va emprar el mateix mètode de la diagonal de Cantor per fer la demostració a un altre conjunt numèric on les xifres només eren 0 i 1 (i no sé si també el 2, no ho record exactament). La qüestió que vaig plantejar és que depenent de com estiguessin ordenats els nombre podríem crear un nombre periòdic amb una expressió distinta però que ja estigués inclòs amb una altra expressió no periòdica. Per entendre’ns, ja sé que als real no pot passar si no escollim el 9, però és com si seguint el mètode de la diagonal ens quedés el nombre 0′4999999… que suposadament és distint a tos els de la llista per construcció, però a aquesta llista podria estar el nombre 0′5, que és el mateix i per tant no contradiria res.
No sé si s’ha entès el que volia dir.
Salutacions,
Félix.

]]>