Blog d’en Xavi

Archive for Març 2008

Boicot a la Xina!

24th Març 2008, 09:18 pm

Des d’avui pens fer boicot a la Xina (no comprar productes xinesos de cap clase) per mor de la repressió tibetana. Ja fa molts d’anys que el règim comunista de Xina intenta eliminar la cultura tibetana. Ara és una bona oportunitat a ran dels Jocs Olímpics per fer que s’acabi: Boicot a la Xina

Categoria: reflexions | 3 comentaris

Mínim de moviments (i 3)

22nd Març 2008, 05:49 pm

Una variació del problema del mínim de moviments per obtenir un conjunt apinyat al reticle $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ amb aplicació:

Sigui A un conjunt de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Volem trobar el mínim de moviments pels quals cada element de A pot transformar-se en un únic punt a. O sigui, per a cada A conjunt de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ , trobar un punt (no té perquè ser únic ni estar a A) tal que $\sum_{x \in A} d(x, a_A)$ sigui mínima.

Noteu que almenys un d’aquests sempre existirà. Si denotem la suma mínima com (i.e., $e(A) = \sum_{x \in A} d(x, a_A)$ ), aleshores és el nombre mínim de moviments (entesos com simplement els passos discrets per anar de qualsevol element de A a , aquí no compt res d’espais en blanc com en anteriors problemes) necessaris per a què tots els punts de A “convergeixin” a

Això té una aplicació òbvia: si tenim n persones (i identifiquem cada persona amb les seves coordenades cartesianes al Pla), aleshores és un punt on és més fàcil trobar-se (en conjunt la distància que ha de recorre cada persona per arribar-hi és menor (o igual) que per a qualsevol altre punt).

Quina seria la fórmula de e(A)?. Crec que es podria provar que si A i B són disjunts, $e(A \cup B) \leq e(A) + e(B)$ (algú s’atreveix?; d’aquesta no n’estic tan segur com les anteriors). I llavors obtenir que $e(A) \leq \frac{Card(A)}{2} \cdot \frac{diam(A)}{2}$

Categoria: problemes, matemàtiques | Comentari

6756, 1863, 115700, ….

19th Març 2008, 08:16 pm

L’altre dia vaig veure un anunci d’un comptador de calories….

Això me va fer demanar una cosa: ¿què podem comptar els matemàtics en els objectes?. Els biòlegs podríen comptar nucleòtids; els químics mol·lecules (mols o reaccions); els físics particules elementals (o deformacions en l’espai temps). I els matemàtics? Vosaltres què comptaríeu a l’estructura dels objectes? Potser grups de simetries?

PS: Per cert, no he trobat el vídeo en català.

Categoria: preguntes, reflexions, matemàtiques | Comentari

Mínim de moviments… 2a part

13th Març 2008, 07:23 pm

L’altre dia vos proposava un problema de tassons. He reflexionat un poc en aquest problema…. la meva modelització aniria sobre reticles i el nombre mínim de moviments per passar d’un conjunt determinat d’un reticle a un altre conjunt determinat dins el mateix reticle (amb l’única condició de que aquests conjunts han de tenir el mateix cardinal).

He pensat que la solució general a aquest problema per mi és bastant difícil, i la he intentat simplificar eliminant una variable (el conjunt d’arribada). Tot seguit vos oferesc el problema simplificat:

Tenim un conjunt de tassons disposats de la següent manera:

[]T[]T

T[]TT

[]T[]T

i volem saber el nombre mínim de moviments (només són permesos els moviments dels tassons a buits adjacents al lloc que ocupen) necessaris per a què els tassons estiguin tots apinyats (sense buits), de qualsevol forma.

La meva modelització seria amb reticles:

Sigui A un subconjunt de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ . Hauríem de definir què és ser apinyat i què no. I després hauríem de definir un moviment natural com aquell que passa un element d’un conjunt a un espai adjacent all lloc que ocupa aquest element. I després definir s(A) com el nombre mínim de moviments per passar de A a A* un conjunt apinyat.

Les definicions són difícils de formalitzar però tothom té la intuïció sobre els conceptes. Per això, tothom pot deduir que si A i B són disjunts, aleshores $s(A \cup B) \leq s(A) + s(B)$ . Tenint en compte que si A té dos punts , on $diam(A) = max \{d(x,y) | x, y \in A \}$ , llavors $s(A) \leq \frac{Card(A)}{2} (diam(A)-1)$ (una fita molt grollera)

Algú s’atreveix a trobar la fórmula exacta de s(A)?

PS: Al conjunt de l’exemple s(A) = 3 (els punts aïllats, tots a la dreta) i la meva fita dóna $\frac{7}{2} \cdot (3-1) = 7$ (!)

Actualització (16/03/08): El ser un conjunt apinyat es podria definir com que cada element està a distància mínima possible de tots els altres elements. Per exemple, el conjunt:

[][]A[]

[][][][]

[]B[]C

no seria apinyat

ni el conjunt

[][]A[]

[][]B[]

[][][]C

tampoc (C pot estar més aprop de A i de B)

però sí el conjunt

[][]A[]

[][]BC

[][][][]

ja que C es mogui o no ja no pot estar més aprop de A ni de B (i el mateix passa a A i a B)

O sigui, podríem definir l’apinyament de A, ap(A), com:

ap(A) = $\sum_{a \neq b, a, b \in A} d(a, b)$

i dir que A està apinyat si ap(A) és mínim (qualsevol reordenació dels Card(A) elements de A tendria major apinyament)

Categoria: problemes, matemàtiques | 1 comentari

Mínim de moviments

5th Març 2008, 11:23 am

Serà vera que la matemàtica està per tot?, o almenys que la ment humana interpreta la natura (i altres problemes) de forma matemàtica?…. hem deia això quan escurant he volgut col·locar els tassons de l’eixugaplats i m’he demanat sobre els nombre mínim de moviments que havia de fer per col·locar-los en línia de dos. Vos explic:

Jo tenc tres línies on puc posar tassons a les quals hi caben exactament 7 tassons. A cada lloc (els suposem discrets) hi pot haver un tassó o un buit. Per exemple, podem tenir:

1: T[]TT[]TT

2: [][][]TT[][]

3: [][][]T[][][]

on [] denota buit i T un tassó

Aleshores vull passar d’aquesta configuració a:

1: [][][]TTTT

2: [][][]TTTT

3: [][][][][][][]

Quin és el nombre mínims de moviments que he de fer per aconseguir-ho (un moviment és un pas d’un tassó a un buit adjacent). I en general? Com modelitzaríeu aquesta situació?