Els coeficients del “polinomi factorial”
Podem definir 
per a tot 
. De manera trivial tenim que 
, però quins són els coeficients de 
? N’hi ha que són trivials (
, 
), però n’hi ha que no (per exemple 
). Algú s’hi atreveix?
El blog del soci núm. 79
Podem definir per a tot . De manera trivial tenim que , però quins són els coeficients de ? N’hi ha que són trivials (, ), però n’hi ha que no (per exemple ). Algú s’hi atreveix?
El coeficient de x^k a
és
3 Abril 2008, 6:37 pm$latex \displaystyle \sum_{1\leq i_1
Pots acabar el comentari, Xesc?
) podem trobar recurrentment qualsevol coeficient tot observant que p_{n+1}(n+1) = p_n(x)(x-n). Era un problema per la gent! (uns dels pocs als qual sé la solució)
4 Abril 2008, 4:39 pmDe fet. al marge de la teva expressió (que no sé com continua
Vatuadena, què em passà ahir? Vegem, el que volia dir, en paraules, es que el coeficient de x^k és la suma de tots els productes de n-k nombres de la forma (-j) amb j entre 1 i n. Així, el coeficient de x^n és el producte de cap nombre, 1; el coeficient de x^{n-1} és la suma de tots els (-j), és a dir, -1-2-…-n; el coeficient de x^{n-2} és la suma de tots els productes de parelles de nombres entre 1 i n: 1·2+1·3+…+1·n+2·3+…+(n-1)·n; etc
En paraules més tècniques, el valor del polinomi simètric n-k-èsim aplicat a (1,…,n).
A mem si ara surt sencer.
4 Abril 2008, 6:40 pmMmm. Sí. És vera. Gràcies Xesc. Veig que els polinomis simètrics apareixen per tot…. jejeje
4 Abril 2008, 8:06 pm