« Ajuda: identitat de Bézout factoritzant a i b…
Quin dia seria “el dia de les Matemàtiques”? »

Un sistema diofàntic a resoldre

12th Abril 2008, 03:35 pm

Per temes que no vénen al cas, m’ha sorgit el problema de resoldre el següent sistema diofàntic:

\begin{cases}4(s+1)\lambda \equiv 2 \mod s^2\\ (2s+3) \lambda \equiv 1 \mod (s+1)^2\end{cases}

amb s senar.

Alguna idea?.

Categoria: problemes, matemàtiques  |  Comentari (RSS)  |  Retroenllaç

6 comentaris

  1. cesc:

    Hola Xavi,
    no és difícil. De la primera equació dedueixes que 2\lambda=(bs-1)s+1 per a qualque b. De la segona dedueixes que s+1 divideix \lambda-1, i per tant 2\lambda-2, i si llavors substitueixes el valor de \lambda obtens que b=c(s+1) per a qualque c. Tens per tant
    \lambda=\frac{1}{2}((cs(s+1)-1)s+1). Substitueixes a la segona, imposes la congruència com a “el quocient de dividir la part de l’esquerra per s^2+2x+1 és 0″ i al final obtens s=-1 i \lambda=1, que és solució òbviament.

    Total, el teu sistema només té solució per a s=-1….. El posaré més endavant com a problema als de primer, amem si els surt, ja t’ho contaré.

    14 Abril 2008, 3:06 pm

  2. defaultXavi:

    Xesc, crec que has fet alguna cosa malament. A mi, la primera equació no me surt (no seria 2\lambda s?)
    Com a mínim la conclusió a la que arribes no és vàlida: si s=3, llavors el sistema és
    16 \lambda \cong 2 \mod 9
    9 \lambda \cong 1 \mod 16

    Pel teorema xinès del reste això té una solució.

    14 Abril 2008, 4:01 pm

  3. cesc:

    Em dec haver equivocat operant….. Per cert, no trobes que el LaTeX queda penòs als comentaris?

    Per parts (que no se’m talli ;-)). A la primera pots simplificar el 2, ja que s és imparell, i queda 2(s+1)\lambda= 1 mòd s^2. Multipliques per s i queda 2s\lambda=s mòd s^2, és a dir, s^2 divideix s(2\lambda-1). Aixo implica s divideix 2\lambda-1, és a dir, 2\lambda=as+1. Ara substitueix això a l’equacio (s+1)2\lambda=1 mòd s^2 i queda
    (s+1)(as+1)=1 mòd s^2, simplificant (a+1)s=0 mòd s^2, per tant s divideix a+1. Aixo implica a=bs-1 i per tant
    2\lambda=(bs-1)s+1.

    Si substitueixes aixo a la primera equació queda (s+1)((bs-1)s+1), que és congruent mòdul s^2 a (s+1)(-s+1)=-s^2+1, és a dir a 1. Condició necessària i suficient, doncs.

    Aquesta per tant és exactament la solució general de la primera equació. Vaig a revisar la resta dels càlculs, a mem…

    14 Abril 2008, 7:56 pm

  4. cesc:

    Va, ja veig on m’he equivocat operant, de fet dividint. Tercera linia del meu primer comentari: El que s’obten es que b=c(s+1)-2 (m’havia deixat un 2)…..

    14 Abril 2008, 8:03 pm

  5. cesc:

    La resta es desenvolupa de manera similar a com he dit al meu primer comentari, i s’obté una fòrmula per a la solució. Com que dues vegades més que ho he fet m’ha donat cada cop diferent, no m’atreveixo a donar el resultat…..

    14 Abril 2008, 8:23 pm

  6. defaultXavi:

    Mmmm…. ja veig ja….
    Bé, per la demostració del teorema xinès del reste es pot veure quina és la solució general. No te preocupis, però ja veig per on vols anar. Revisaré la teva manera…..

    Xavi

    PS: Sí, latex queda molt… malament.

    15 Abril 2008, 4:12 pm

Deixa un comentari