Archive for Juny 2008

mcd(0,a)=….

24th Juny 2008, 04:24 pm

L’altre dia llegint un llibre, vaig veure aquest que definia el mcd(a,b) com “el màxim comú divisor estrictament positiu de a i de b si a i b eren tots dos distints de zero i 0 altrament”.

Me va sorprendre aquesta definició i vaig intentar justificar-la (òbviament el cas que algun dels arguments fos zero) de dues maneres:

1. Amb la definició de divisor comú

Donats a, b\in \mathbb{Z}, podem definir que c és un divisor comú de a i de b \Leftrightarrow c és un divisor de a i c és un divisor de b simultàniament, i.e. a = c \cdot e i b = c \cdot f per alguns e, f \in \mathbb{Z}(nota: aquesta és la definició més general de divisor. Hi ha altres definicions que exigeixen que c sigui distint de zero, per a què el concepte de divisor en la divisor entera i aquest concepte coincideixin. Ara bé, si elegim que c sigui distint de zero, aleshores no hi ha una correspondència entre múltiples i divisors d’un nombre).

Per tant, tenim que donats, a, b sencers, podem definir el conjunt de divisors de a i b com

\text{Div}(a,b) =\{ c \text{ divisor com\'u de } a \text{ i } b\}

I per tant, definir el màxim comú divisor de a i de b com:

\text{mcd}(a,b) = \max \text{Div}(a,b)

Aleshores si a no és zero, el mcd(a,0) és igual a

\text{mcd}(a,0) = \max \text{Div}(a,0) = \max (\text{Div}(a) \cap \text{Div}(0)) = \max (\text{Div}(a) \cap \mathbb{Z}) = a

(ja que qualsevol nombre és divisor de zero)

i

\text{mcd}(0,0) = \max \text{Div}(0,0) = \max (\text{Div}(0) \cap \text{Div}(0)) = \max (\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}) = \max \mathbb{Z} que no existeix

Per tant, amb una definició raonable del mcd, arribem a la conclusió de què mcd(0,a) = a si a no és zero i que mcd(0,0) no existeix.

2. Amb un poc d’àlgebra (ideals amagats)

Ara bé, facem servir un poc d’Àlgebra.

Notem per (a) = \{ m | \text{m\'ultiples de a}\} = \{0, a, -a, \ldots \} = \{k\cdot a | k \in \mathbb{Z}\} ,  i de forma més general

(a_1, \ldots, a_r) = \{k_1 \cdot a_1 + \ldots k_r \cdot a_r | k_i \in \mathbb{Z}\}

O sigui (a_1, \ldots, a_r) és l’ideal general pel conjunt \{a_1, \ldots, a_r\} a \mathbb{Z}

Es pot veure que donats a, b enters, tenim que:

  • (a, b) = (\text{mcd}(a,b))
  • (a) \cap (b) =(\text{mcm}(a,b))

Si b =0 i a no és zero, tenim que (a, 0) = (a). Per tant, el mcd(0,a) hauria de ser a.

Si a i b són zero, llavors, (0,0) = {0} = (0). Per tant, el mcd(0,0) hauria de ser 0.

Conclusions

Aleshores, amb tot, trec que:

  1. una bona definició per  mcd(0,a) seria a
  2. una bona definició per mcd(0,0) seria 0
  3. El llibre “s’equivocava”: de totes totes el mcd(0,a) no és zero (tenc dos arguments per demostrar divergències amb aquesta definició).

Algú més s’atreveix a donar un altra argument? Per favor, animeu-vos!

Categoria: problemes, llibres, reflexions, matemàtiques  |  4 comentaris

“L’imitació” és millor que l’original

12th Juny 2008, 03:37 pm

Original vs Imitació


vs


Personalment, preferesc la “conya” (“imitació”). Està molt ben feta.

Categoria: ganyotes, web, informàtica  |  Comentari