Comentaris a: mcd(0,a)=….

Per: Xavi

Xavi — Sun, 29 Jun 2008 10:00:31 +0000

Xesc, en primer lloc suposo que “esquiterell”=primmirat! (?)
En segon lloc, gràcies per la reflexió.
Ara sabem més de l’assumpte.

Per tant, deduesc que (a) \cap (b) = (dcd(a,b))?

Gràcies pels comentaris.
Xavi

Per: cesc

cesc — Sat, 28 Jun 2008 07:40:38 +0000

Hola,
d’entrada tens rao, Xavi: mcd(a,0)=a si a no es 0, devia ser una errata del llibre.

El que sol fer quan se és molt esquiterell (i de vegades cal ser-ho; de fet, qui ho introduí és Paul Erdös) és distingir entre maxim comu divisor mcd i divisor en comu distingit dcd (idem per als multiples): el primer és el major element (respecte de l’ordre usual) del conjunt dels divisors en comú, el segon, el (llevat de signe) major element (respecte de l’ordre parcial “x més gran que y si y divideix x”) del conjunt dels divisors en comú. I com be has observat

mcd(a,b)=dcd(a,b) si qualcun no és 0

dcd(0,0)=0, mcd(0,0) no existeix.

Per: Xavi

Xavi — Tue, 24 Jun 2008 17:53:49 +0000

Félix: el de a i b ja està corregit.
Sí, és cert que no defineix el mcd: algebraicament diríem que _un_ màxim comú divisor seria un nombre d tal que (a, b) = (d). I _el_ màxim comú divisor seria un nombre tal que a més for >= 0.

Sobre la degeneració que dius, no estic gaire d’acord. Encara que les definicions hauríen de coincidir no tendria per què, per què les definicions de partida, i els conceptes de partida són distints. és clar que s’han d’armonitzar però podria ser que els conceptes de partida donassin definicions distintes….. ara bé, no crec que en aquest cas passàs perquè la def. algebraica històricament ve de l’altra.

A veure si trobes l’error doncs.
Xavi

Per: Félix

Félix — Tue, 24 Jun 2008 16:41:25 +0000

Hola Xavi. A nivell molt elemental (parlem de sentit comú, amb el perill que això suposa) estic d’acord amb que MCD(a,0) = a i que MCD(0,0) no existeix.
Revisant els teus raonaments m’ha sorgit un dubte. Al raonament algebraic, no defineixes el MCD. Quina definició empres quan dius (a,b)=(mcd(a,b))? I per altra banda, si empram la definició que utilitzes al raonament aritmètic (1 per entendre’ns) hi ha una degeneració a qualque banda perquè no pot ser que per un raonament ens doni que no existeix el MCD(0,0) i per altra banda que sigui 0. Pot ser interessant estudiar en quin punt es degenera el procés i per què.
Una altra cosa, al raonament (1) diu
a = c · e i a = c · f
i si no m’equivoc hauria de dir
a = c · e i b = c · f
Finalment, em deman si a part de la curiositat de com definir MCD(0,0) podem trobar qualque problema on sorgeixi la necessitat d’utilitzar això.
Salutacions,
Félix.