Blog d’en Xavi

L’altre dia se me va ocorre un problema. Els vos explic per veure si en podeu treure l’engrallat:

Es tracte de considerar un quadrat a l’espai euclidià. Per fixar-ne algun, podem considerar el quadrat . A cada punt del quadrat, podem posar un punt de manera que per a cada punt que posem, dibuixem un cercle de radi , fixat (per exemple 1). Aleshores es tracte de veure quina és la distribució de punts que fa que l’àrea no coberta pels cercles sigui mínima (si el nombre de punts és 1, aleshores posaríem el punt enmig, perquè l’àrea mínima no coberta s’aconsegueix posant un cercle enmig del quadrat) - noteu que els cercles es poden solarpar.

Formalment, i de forma més general:

Siguin un conjunt i una aplicació que a cada punt li assigna un conjunt, fixats.

El problema és, per a tot , trobar (que pot ser o no subconjunt de ) tal que i sigui mínima.

En el nostre cas, , i m és la mesura de Lebesgue i ; per , tenim que . Quin seria per a ?

Llanç una pregunta amb transfons filosòfic:

El teorema de Gödel ens diu que hi ha coses que no podem demostrar en un sistema formal de primer ordre. Entre elles, si un programa arbitrari s’atura o no.

Creis que el nostre cervell té una estructura de primer ordre? O per contra hi opera una altra tipus de lògica: d’ordre major, lògica borrosa, lògica “genèrica” derivada de la teoria de categories, etc.?

Trobau que hi hagi qualque raó “objectiva” a favor i en contra?

Jo crec que no. Un argument podria ser que podem intuir si acaben o no els programes, encara que no ho poguem demostrar. Un altra seria que encara que un problema no tengui solució en un sistema formal de primer ordre, sempre pareix que la volem trobar (vegi’s [1] i [2] - l’intent de Woodin al cas de la Hipòtesi del Continu; són articles per llegir per damunt per saber de què van els progressos, no per intentar entendre totes les passes, en la meva opinió).