Archive for the ‘llibres’ Category.

mcd(0,a)=….

24th Juny 2008, 04:24 pm

L’altre dia llegint un llibre, vaig veure aquest que definia el mcd(a,b) com “el màxim comú divisor estrictament positiu de a i de b si a i b eren tots dos distints de zero i 0 altrament”.

Me va sorprendre aquesta definició i vaig intentar justificar-la (òbviament el cas que algun dels arguments fos zero) de dues maneres:

1. Amb la definició de divisor comú

Donats a, b\in \mathbb{Z}, podem definir que c és un divisor comú de a i de b \Leftrightarrow c és un divisor de a i c és un divisor de b simultàniament, i.e. a = c \cdot e i b = c \cdot f per alguns e, f \in \mathbb{Z}(nota: aquesta és la definició més general de divisor. Hi ha altres definicions que exigeixen que c sigui distint de zero, per a què el concepte de divisor en la divisor entera i aquest concepte coincideixin. Ara bé, si elegim que c sigui distint de zero, aleshores no hi ha una correspondència entre múltiples i divisors d’un nombre).

Per tant, tenim que donats, a, b sencers, podem definir el conjunt de divisors de a i b com

\text{Div}(a,b) =\{ c \text{ divisor com\'u de } a \text{ i } b\}

I per tant, definir el màxim comú divisor de a i de b com:

\text{mcd}(a,b) = \max \text{Div}(a,b)

Aleshores si a no és zero, el mcd(a,0) és igual a

\text{mcd}(a,0) = \max \text{Div}(a,0) = \max (\text{Div}(a) \cap \text{Div}(0)) = \max (\text{Div}(a) \cap \mathbb{Z}) = a

(ja que qualsevol nombre és divisor de zero)

i

\text{mcd}(0,0) = \max \text{Div}(0,0) = \max (\text{Div}(0) \cap \text{Div}(0)) = \max (\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}) = \max \mathbb{Z} que no existeix

Per tant, amb una definició raonable del mcd, arribem a la conclusió de què mcd(0,a) = a si a no és zero i que mcd(0,0) no existeix.

2. Amb un poc d’àlgebra (ideals amagats)

Ara bé, facem servir un poc d’Àlgebra.

Notem per (a) = \{ m | \text{m\'ultiples de a}\} = \{0, a, -a, \ldots \} = \{k\cdot a | k \in \mathbb{Z}\} ,  i de forma més general

(a_1, \ldots, a_r) = \{k_1 \cdot a_1 + \ldots k_r \cdot a_r | k_i \in \mathbb{Z}\}

O sigui (a_1, \ldots, a_r) és l’ideal general pel conjunt \{a_1, \ldots, a_r\} a \mathbb{Z}

Es pot veure que donats a, b enters, tenim que:

  • (a, b) = (\text{mcd}(a,b))
  • (a) \cap (b) =(\text{mcm}(a,b))

Si b =0 i a no és zero, tenim que (a, 0) = (a). Per tant, el mcd(0,a) hauria de ser a.

Si a i b són zero, llavors, (0,0) = {0} = (0). Per tant, el mcd(0,0) hauria de ser 0.

Conclusions

Aleshores, amb tot, trec que:

  1. una bona definició per  mcd(0,a) seria a
  2. una bona definició per mcd(0,0) seria 0
  3. El llibre “s’equivocava”: de totes totes el mcd(0,a) no és zero (tenc dos arguments per demostrar divergències amb aquesta definició).

Algú més s’atreveix a donar un altra argument? Per favor, animeu-vos!

Categoria: problemes, llibres, reflexions, matemàtiques  |  4 comentaris

Topologia (general i un poc d’algebraica)

30th Desembre 2007, 11:36 am

Ei!, furgant un poc per la Web, he trobat un bon llibre de Topologia disponible lliurement en format pdf (en anglès o rus):

  1. O.Ya.Viro, O.A.Ivanov, V.M.Kharlamov, N.Y.Netsvetae. “Elementary Topology. Textbook in problems“

Tracta la topologia general i un poc de topologia algebraica. Prengueu nota els que vos serveixi.

Categoria: llibres, matemàtiques  |  Comentari

Corbes el·líptiques i formes modulars

5th Desembre 2007, 09:36 am

Per Nadal, me vull fer un autoregal: un bon llibre sobre corbes el·líptiques i formes modulars. Per això vos demanan si en sabeu d’algun. I que sigui accessible (ja sabeu el nivell i què hem vist de mates a la carrera; per favor que no comenci amb la teoria de Iwasawa directament; no vull res tan avançat. Una cosa com què són, la representació de Weirestrass, etc.)

Gràcies

Actualització: havia pensat, per ordre de preferència en:

  1. [1] Arithmetic of Elliptic Curves. Silverman. Springer. 65$. 400 p
  2. [2] Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Tom M. Apostol. Springer. 70$. 206p.
  3. [3] A First course in modular forms. Fred Diamond. Springer. 70$. 436 p.
  4. [4] Modular forms. Toshitsune Miyake. Springer. 70$. 335p
  5. [5] Arithmetic Algebraic Geometry. Ed. Brian Conrad. American Mathematical Society bookstore. 79$. 569p
  6. [6] Elliptic curves. Function Theory, Geometry, Arithmetic. Henry McKean. Cambridge university press. Lliures 26. 281 p.
Categoria: llibres, personal, matemàtiques  |  2 comentaris

Llibres amb copyright “relaxat”

19th Agost 2007, 03:22 am

Tothom sap que la majoria de llibres vénen amb una nota de copyright que bàsicament diu que per fer qualsevol cosa (tota reproducció, enmagatzament, distribució, traducció, etc.), excepte potser regalar-lo ;-), has de demanar permís a l’editorial.

Doncs bé hi ha grates excepcions:

Categoria: llibres  |  Comentari

Si qualcú els vols…

5th Agost 2007, 05:20 am

He posat a disposició vostra tot un seguit de llibres que tenc i que me’n vull desfer. Si algú els vol, que m’ho digui i estaré encantat de donar-los-hi:

  • Autors: Javier Torre de Silva y López de Letona
    Títol: “Internet, propiedad industrial y competencia desleal”
    Ed.: Centro de Estudios Políticos y Constitucionales.
    ISBN: 84-259-1182-6
  • Autors: Anatoly G. Gorshkov. Dmitry V. Tarlakovsky
    Títol: “Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies”
    Ed.: Springer
    ISBN: 3-540-42151-3
    Referències: [1]
  • Autors: David A. Vise. Mark Malseed
    Títol: “Google, la historia. Los secretos del mayor éxito empresarial mediático y tecnológico de nuestro tiempo”
    Ed.: La Esfera de los Libros
    ISBN: 84-9734-566-5
    Referències: [2]

En aquesta pàgina posaré altres coses per donar o canviar

Categoria: llibres, personal  |  Comentari