Blog d’en Xavi

L’altre dia se me va ocorre un problema. Els vos explic per veure si en podeu treure l’engrallat:

Es tracte de considerar un quadrat a l’espai euclidià. Per fixar-ne algun, podem considerar el quadrat . A cada punt del quadrat, podem posar un punt de manera que per a cada punt que posem, dibuixem un cercle de radi , fixat (per exemple 1). Aleshores es tracte de veure quina és la distribució de punts que fa que l’àrea no coberta pels cercles sigui mínima (si el nombre de punts és 1, aleshores posaríem el punt enmig, perquè l’àrea mínima no coberta s’aconsegueix posant un cercle enmig del quadrat) - noteu que els cercles es poden solarpar.

Formalment, i de forma més general:

Siguin un conjunt i una aplicació que a cada punt li assigna un conjunt, fixats.

El problema és, per a tot , trobar (que pot ser o no subconjunt de ) tal que i sigui mínima.

En el nostre cas, , i m és la mesura de Lebesgue i ; per , tenim que . Quin seria per a ?

Llanç una pregunta amb transfons filosòfic:

El teorema de Gödel ens diu que hi ha coses que no podem demostrar en un sistema formal de primer ordre. Entre elles, si un programa arbitrari s’atura o no.

Creis que el nostre cervell té una estructura de primer ordre? O per contra hi opera una altra tipus de lògica: d’ordre major, lògica borrosa, lògica “genèrica” derivada de la teoria de categories, etc.?

Trobau que hi hagi qualque raó “objectiva” a favor i en contra?

Jo crec que no. Un argument podria ser que podem intuir si acaben o no els programes, encara que no ho poguem demostrar. Un altra seria que encara que un problema no tengui solució en un sistema formal de primer ordre, sempre pareix que la volem trobar (vegi’s [1] i [2] - l’intent de Woodin al cas de la Hipòtesi del Continu; són articles per llegir per damunt per saber de què van els progressos, no per intentar entendre totes les passes, en la meva opinió).

L’altre dia llegint un llibre, vaig veure aquest que definia el mcd(a,b) com “el màxim comú divisor estrictament positiu de a i de b si a i b eren tots dos distints de zero i 0 altrament”.

Me va sorprendre aquesta definició i vaig intentar justificar-la (òbviament el cas que algun dels arguments fos zero) de dues maneres:

1. Amb la definició de divisor comú

Donats , podem definir que c és un divisor comú de a i de b c és un divisor de a i c és un divisor de b simultàniament, i.e. i per alguns (nota: aquesta és la definició més general de divisor. Hi ha altres definicions que exigeixen que c sigui distint de zero, per a què el concepte de divisor en la divisor entera i aquest concepte coincideixin. Ara bé, si elegim que c sigui distint de zero, aleshores no hi ha una correspondència entre múltiples i divisors d’un nombre).

Per tant, tenim que donats, a, b sencers, podem definir el conjunt de divisors de a i b com

I per tant, definir el màxim comú divisor de a i de b com:

Aleshores si a no és zero, el mcd(a,0) és igual a

(ja que qualsevol nombre és divisor de zero)

i

que no existeix

Per tant, amb una definició raonable del mcd, arribem a la conclusió de què mcd(0,a) = a si a no és zero i que mcd(0,0) no existeix.

2. Amb un poc d’àlgebra (ideals amagats)

Ara bé, facem servir un poc d’Àlgebra.

Notem per ,  i de forma més general

O sigui és l’ideal general pel conjunt a

Es pot veure que donats a, b enters, tenim que:

Si b =0 i a no és zero, tenim que (a, 0) = (a). Per tant, el mcd(0,a) hauria de ser a.

Si a i b són zero, llavors, (0,0) = {0} = (0). Per tant, el mcd(0,0) hauria de ser 0.

Conclusions

Aleshores, amb tot, trec que:

1. una bona definició per  mcd(0,a) seria a
2. una bona definició per mcd(0,0) seria 0
3. El llibre “s’equivocava”: de totes totes el mcd(0,a) no és zero (tenc dos arguments per demostrar divergències amb aquesta definició).

Algú més s’atreveix a donar un altra argument? Per favor, animeu-vos!

Qui no li ha passat una situació parescuda a aquesta (des del cantó del professor o des del cantó de l’alumne)?

Quines són les solucions?

Vos heu fet mai la pregunta de quins tres llibres duríeu a una illa deserta (se suposa per llegir-los!)?

En tot cas, vos faig la mateixa pregunta però restringit a llibres de Matemàtics. Si juntem les recomanacions de cada persona, potser ens surti una bona llista de llibres recomanables per formar part de la nostra biblioteca matemàtica personal.

Ara bé, si voleu participar no faceu trampa:

1. No val triar dos llibres de la mateixa àrea matemàtica
2. Els llibres han d’estar ben escrits i s’han de poder entendre per un estudiant de carrera (des de 1r a 4t/5è; el nivell el trieu vosaltres)

Jo tenc les meves eleccions:

1. Abstract Algebra de P. A Grillet. Un compendi de tot l’Àlgebra fonamental de carrera (per desgràcia no surt el teorema de Feit-Thompson ;-))
2. Elementary Methods in Number Theory de M. B. Nathanson. Teoria de nombres bàsica (i no tan bàsica) amb mètodes elementals (que no senzills)
3. Cálculo diferencial e integral de N. Piskunov (o bé un d’en Demidovic).

Si voleu, poseu-vos a la llista.

Aquí teniu la distribució per edats dels docents de les Illes Balears. Per exemple, la dels Professors d’Ensenyament Secundari al Centres Públics a l’Illa de Mallorca és:

 

Anys	Persones
20-24	5
25-29	285
30-34	650
35-39	588
40-44	529
45-49	397
50-54	290
55-59	184
60-64	75
Més de 64	9

Aquesta és una dada interessant: per una part, interessa als docents, ja que permet vislumbrar contra qui “competim” i quantes places és probable que surtin a concurs de trasllats/oposició l’any que ve (places que ocupen els majors de 64 anys); i per una altra perquè pareix que les dades es reparteixen segons una corba normal.

Realment és així? Si la resposta és afirmativa, quins paràmetres fan que estigui el més aprop possible a les dades?. Aquestes preguntes són fàcilment responibles.

El que probablement no és tan fàcil de respondre és per què dades que sorgeixen d’un procés periòdic s’acaben modelant en forma de corba normal (si és que al final és així). Vull dir, idealitzant-ho tot molt: al principi dels temps ningú era professor. Els primers professors degueren ser les primeres persones que acabaren la carrera i que varen aprovar les primeres oposicions. Per tant, la distribució d’edats era de professors entre 20-24 anys i la resta 0. Després de anys, es tornen a convocar unes altres oposicions (per la nova fornada de llicenciats més la gent que no va aprovar les primeres). La gent que aprova aquestes oposicicions és o bé de 20-24 (els novell) o bé de 20-24 + k anys (els que no varen aprovar). Per tant, després de k anys, tenim una distribució composta per aquesta gent que aprova les oposicions més la gent que va aprovar les oposicions anteriors, de 20-24 + k (que n’hi ha X)…..

Si suposem que cada cop surten les mateixes places, que transcorren els mateixos anys entre oposició i oposició, i que la gent que aprova cada oposició està distribuïda igualitàriament entre la gent recent llicenciada, la gent que ha suspès unes oposicions, la gent que n’ha suspeses dues, etc. (ho sigui, el fet que un aprovi és independent dels anys que duu estudiant), aleshores algú pot provar que surt una normal al llarg del temps?

L’altre dia parlàvem sobre quin dia seria el millor per posar el dia de les Matemàtiques. En Fèlix, va apuntar una molt bona idea: que canviàs amb els anys. I en Xesc va insinuar que ell seguia el dia de pi.

Doncs per què no els fussionam?

Si agafem els digits en base 10 de pi: 3.14159265358979323846…

Podríem definir la funció “la data de les matemàtiques” com f:N–>N^2, que assignàs a cada any, un parell ordenat (mes, dia), de manera que el mes i el dia tenguessin el major nombre de dígits possible. O sigui,

f(1) = (3, 14); podríem collir f(1) = (3, 1), però no és maximal. I (31, 4) no es correspon a cap data.

f(2) = (1, 5),

f(3) = (9,26),

f(4) = (5, 3),

etc.

Com calcularíeu el valor f(n) per a n arbitrari. No es fàcil, crec jo, dir-li a f que culli el parell maximal i que a més tengui sentit com a data.  Hi ha una fórmula tancada recurrent senzilla? Què seria f(2008)? I f(2009)?. Heu de tenir en compte els anys de traspàs (perquè podreu collir la ocurrència (2,29) si apareix).

Una pregunta molt simple: quines fonts d’informació useu per saber les darreres novetats en matemàtiques: els darrers teoremes provats, les darreres tendències, etc.?

Sou tradicionals i estau subscrits a qualque revista científica?, llegiu els darrers articles de l’arXiv?, o per contra useu les noves tecnologies i escolteu algun podcast matemàtic?

Ja sé que és una costum cultural dels darrers temps (segurament inútil) posar dies mundials o si més no dies de. En tenim molts: d’objectes, de disciplines, dia de l’aigua, dia del teatre, dia de la Terra, dia de la llibertad de premsa, dia del medi ambient, el famòs dia internacional del llibre,… fins i tot de ben estranys: dia de l’aproximació de pi. ([1], [2])

Podria estar bé tenir un dia de les Matemàtiques. Però això sí, quin dia triaríeu?. Hauria de ser per alguna raó matemàtica. Propostes! (nota: teniu en compte que no tots els anys tenen 365 dies)

Per temes que no vénen al cas, m’ha sorgit el problema de resoldre el següent sistema diofàntic:

amb s senar.

Alguna idea?.