Blog d’en Xavi

Algú s’ha demanat per què és tan difícil d’entendre la llei de proporcionalitat inversa (per part dels alumnes de ESO)? Voldria fer dues reflexions sobre això:

1. En primer lloc, la hem d’explicar. Vull dir:
   • Hi ha un salt qualitatiu entre la llei de proporcionalitat directa i inversa, i sempre se té la sensació que hi ha molta gent que en el tema de Proporcionalitat no entén ni el concepte ni el procediment (que per cert és molt artificial).
   • No s’hauria d’esperar un poc per explicar aquesta llei (quan sapiguessin el concepte de funció i estiguessin familiaritzats amb les funcions f(x) = k/x), sobre 4t d’ESO?
   • Realment fa falta explicar-la?: quantes aplicacions coneixeu de les magnituds inversament proporcionals a nivell d’ESO (tant a la vida real com al propi temari de les matemàtiques: on més s’usa?)?. De fet a mi no me la varen ensenyar mai. Me va bastar saber la proporcionalitat directa i saber que inversament proporcional = va amb la llei f(x) = k/x (que per cert, me varen ensenyar a física de segon de BUP)
2. En segon lloc, no la podríem reduir a un problema de proporcionalitat directa?. Com ho faríeu de forma natural? Se m’ocorr fer-ho amb puntuacions. Per concretar, podríem fer servir aquest problema:

Una associació de Matemàtics (!) decideix donar un premi al millor docent. Decideix repartir 240 euros en 3 premis de manera inversament proporcional a la posició del docent. Quants de doblers se’n pot endur un docent segons el lloc que ocupi?

Com a problema de proporcionalitat inversa, el problema és clar (ho poso a nivell formal):

Sigui f(x) = doblers que se’n dur una persona si queda en el lloc x.

Aleshores f(1) + f(2) + f(3) = 240

Com que f(x) és inversament proporcional, f(2) = f(1)/2, f(3) = f(1)/3. Per tant, (1+1/2+1/3) f(1) = 240, pel que f(1) = 240/11.

D’aquí f(2) = 120/11, f(3) = 240/33

Però podríem veure el problema com puntuar els docents. Suposem que a cada docent se li dóna una sèrie de punts (positius o zero) en funció de la posició on quedi: per quedar primer tenim molta puntuació, per quedar segon n’hem de tenir menys, i per quedar segon, molt menys. Si deim P(x) = punts que assignam per quedar a la posició x, tenim que l’assignació de P(1), P(2) i P(3) es fa per la llei de proporcionalitat inversa, però el problema, com a problema de punts, ja es veu com a directa (”si tens tots els punts, te’n duus tot el premi, aleshores si tens, 10 punts, …”) que crec que és més fàcil d’entendre que abans (com explicaríeu que f(1) + f(2) + f(3) = 240 en una frase?).

Per cert, com assignar P(1)?

No sé, què trobau de tot plegat?

Actualització: Realment, allà on diu “proporcionalitat inversa”, hauria de dir “repartiments inversament proporcional” (el problema dels obrers serveix per qualque cosa)

L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les Matemàtiques…. doncs bé, aprofitant aquesta dèria temporal que m’ha agafat, he llegit uns quants articles sobre teories alternatives a l’estàndard teoria de conjunts de Zermelo-Frankel (no els suficients!), i he caigut en teories que neguen l’axioma de regularitat (o de fundació).

Això m’ha recordat a vells coneguts i he pensat que si definissim una estructura artiniana com una estructura A tal que compleix la condició de cadena descendent per a qualsevol successió tals que pertanyen a (amb < com a ordre de la cadena) (per exemple un anell artinià seria una estructura artiniana amb A = l’anell, com el conjunt d’ideals de A i < com a )…. Bé doncs si definissim això tendríem que els conjunts com a teoria de ZF és una estructura artiniana (amb A=conjunt, , < com a la inclusió de conjunts). Es podria investigar la connexió….

Per cert, on puc trobar més referències sobre hiperconjunts i coses per l’estil? Algú m’ho pot dir?

Fa temps que me deman el mateix: hi ha alguna revista de matemàtiques per al públic general?

Realment mai he trobat cap revista de contingut matemàtic per al públic general que sigui fàcilment accessible (per exemple en quioscos). No m’estic referint a revistes de matemàtiques per matemàtics (que n’hi ha però no als quioscos), sinó a revistes per la gent corrent.

Si anau a un quiosc qualsevol hi ha revistes per a tota classe de gustos: de vela, de costura, de música, de llibres, d’informàtica, de cuina, de viatges, de tatuatges, de drogues, de boxa, de moda, d’astronomia, de ciència en general (”Investigación y Ciencia” i “Mundo científico”), etc. Però no n’hi ha cap de matemàtiques (fins i tot a les de ciència en general només hi ha una pàgina de puzzles matemàtics al final). Cap que expliqui problemes, trencaclosques, algun teorema xocant de matemàtiques… coses que a un matemàtic no li està de més saber, o que sap, però que sorprenen a la gent corrent (a l’estil dels llibres de n’Ian Stewart potser).

Per què? Potser per què les matemàtiques no han assolit el reconeixement social que tenen altres coses. Falta que es popularitzin, que es reconegui que les matemàtiques són útils, que hi ha matemàtiques en tot (com actualment passa amb la informàtica o amb la biologia crec). O, més difícil, que es reconegui la seva vessant lúdica i de diversió (per així comprar una revista de matemàtiques com la gent compra una revista de costura o uns passatemps).

Potser hem de tenir esperança en aquest darrer sentit (el vessant lúdic) perquè ara fa poc s’han popularitzat els jocs competitius que requereixen pensar un poc (Sudoku, Brain X…)

Què trobau de tot? Algun dia trobarem al quiosc del barri una revista que es tituli “CosmoMatemáticas” ?

Matemàticament quina definició s’empra per dir que una cosa és aleatòria? Algú ho sap?

He trobat cosa al respecte ([1], [2], [3], [4], [5] i [6]) però no n’he tret res en clar. Pareix que depèn un poc de convencionalismes i les definicions no diuen res del cas no enumerable (estic pensant en d-xarxes aleatòries per exemple)

M’agradaria que algú m’ajudàs amb aquests dos problemes:

1. Trobar una bona fita superior d’a i b nombres naturals que satisfan .

Cerc una demostració elegant (4 o 5 línies). En tenc una però és més llarga.

2. Quin nom té aquesta estructura següent?: Tenim (A, *),(A,·),(A, |) tres monoides que satisfan: (a|b)·(c|d) = (a*b)*(c*d).

Qualcú me pot ajudar? Gràcies.

Ahir un informàtic me va explicar un problema d’enginy. És el problema dels cinc filòsofs xinesos. Es veu que aquest problema és un clàssic a la carrera d’Informàtica i anàlogues. El passo a descriure:

En una taula redona tenim disposats 5 bastonets xinesos i 5 filòsofs xinesos. Cada filòsof xinès té a l’esquerra i a la dreta un sol bastonet, que comparteix amb el comensal de la seva esquerra i amb el comensal de la seva dreta. Just davant del cada filòsof hi ha un bol de tallarins.

Per menjar, el filòsof necessita dos bastonets (provau de menjar-los amb un sol bastonet!). I per tant o bé pot esperar (en el problema es diu que pensa, que és el que fan els filòsofs), o bé menja (té dos bastonets), o bé té només un bastonet en la mà

El problema consisteix en saber com sincronitzar els filòsofs per a què cap filòsof no es mori de fam

Els informàtics resolen això amb algorismes, definint què vol dir no morir-se de fam (no esperar més d’un temps; trobar-se que no hi ha menjar, si cada bol conté una quantitat finita de menjar; etc.). Però m’agradaria veure si algú sap com resoldre’l matemàticament (i sobretot de manera òptima; sigui quina sigui la vostra definició de resoldre’l).

Per cert, trobeu que hi ha problemes clàssics a la carrera de Matemàtiques? En la vostra opinió quins són?

PS: Per més informació: [1], [2]

M’agradaria saber si algú sap quin són els fonaments reals de les Matemàtiques. M’explic: sempre se’ns ha explicat que totes les matemàtiques es poden fonamentar amb la teoria de conjunts i la lògica, però tenc alguns reticències. Corregiu-me si m’equivoc:

1. En primer lloc, la teoria de conjunts no té una sola axiomatització: hi ha la més coneguda axiomatització de Zermelo-Fraenkel, la de Neuman-Bernays-Gödel i moltes altres (n’hi ha fins i tot que suposen que existeix el Conjunt Universal)
2. Encara suposant que la teoria de ZF és la “bona”, hi ha coses que són independents d’ella: la hipòtesi del continu, l’existència de cardinals grans, etc. Per tant, un altre cop a elegir. Per tant, pareix que tenim tantes fonamentacions com teories axiomàtiques de conjunts poden fer
3. Pareix que no existeix una definició/descripció de què és un conjunt. Ho dic en el sentit que pareix que no podem distingir fàcilment entre una classe i un conjunt. Quina classe de propietat fa que {x | P(x)} sigui un conjunt o una classe?
4. Aparentment la lògica de primer ordre s’aplica a tot, fins i tot a la consistència, independència axiomàtica, etc. dels conjunts, però ¿no utilitza la lògica la teoria de conjunts? (simplement per exemple per definir una fórmula, un model, etc. s’empra el concepte del conjunt). No tenim una dependència cíclica: teoria de conjunts <–> lògica de primer ordre?
5. A més hi ha altres disciplines que intenten ajudar a fonamentar les matemàtiques: teoria de categories, lògica algebraica, lògica universal, lògica borrosa, lògica multivaluada, lògica infinitària (nombre infinit de connectius a les fórmules), etc. Però crec que totes aquestes matèries tenen com a fonament la teoria de conjunts/classes (les utilitzen en qualque moment donat)

No sé no vos pareix que esteim un poc en bolquers sobre aquest tema? Algú em pot fer quatre cèntims de com estar la cosa i els fonaments sòlids que tenim per fundar les bases de les matemàtiques? O com a mínim que li pareix tot plegat? Gràcies.

Ei!, furgant un poc per la Web, he trobat un bon llibre de Topologia disponible lliurement en format pdf (en anglès o rus):

1. O.Ya.Viro, O.A.Ivanov, V.M.Kharlamov, N.Y.Netsvetae. “Elementary Topology. Textbook in problems“

Tracta la topologia general i un poc de topologia algebraica. Prengueu nota els que vos serveixi.

Ja fa temps que me ronda una idea pel cap que es podria sintetizar amb el següent slogan: el graf de mutacions d’una espècie ha de tenir una dimensió fractal concreta. On dic graf de mutacions, llegeixi’s algun tipus de diagrama, i on dic dimensió fractal concreta llegeixi’s algun tipus d’invariant

Origen de la idea

La idea se me va ocorre quan fa ja dos o tres anys vaig veure un documental on deien que la SIDA i el grip eren dos virus que mutaven molt ràpidament i per tant era molt difícil fer medicaments que els combatissin, mentres que mostraven el seu graf de mutacions (concretament de la SIDA).

Se me va ocorre que potser es podrien predir les mutacions que farien aquest virus, potser no individualment però sí globalment. Potser el seu graf de mutacions tenia una forma concreta (i potser aquesta forma es podria caracteritzar amb un fractal i amb això amb una dimensió fractal)

Continue reading ‘ADN, grafs, invariants i mutacions’ »

Tothom sap que en matemàtiques bàsiques dos segments són perpendiculars un amb l’altre si formen un angle recte. Ara mateix no vull discutir què és un angle i les possibles generalitzacions a altres geometries o línies corbes. Ara només vull discutir el concepte de perpendicular (que sorprenentment podem tenir sense la definició d’angle)

Tothom sap que una generalització de perpendicularitat és la de ortogonalitat (producte cartesià en un espai vectorial, etc.). L’altre dia vaig estar pensant una definició alternativa. Deixeu-me que la motivi

En la geometria euclídea 2D, donat un segment AB, un segment perpendicular (que caurà a la mediatriu bisectriu del segment) V serà tal que qualsevol punt x de V estarà a la mateixa distància de A que de B (extrems del segment inicial)

Això també passa a la geometria euclídea 3D: donat un segment AB, tenim un pla de segments perpendiculars a AB que també compleixen que qualsevol punt x d’un segment qualsevol del pla perpendicular a AB dista igual d’A que de B

Fins i tot a l’esfera, si dibuixam un segment AB, tenim que un segment perpendicular a AB està sobre la mediatriu bisectriu i per tant també compleix la propietat

Per tant, pareix que podríem generalitzar i donar la següent definició:

Definició: Sigui X un espai mètric. Siguin a, b dos punts de X qualssevol. Un segment [a,b] és qualsevol aplicació:

• \phi: [0,1] –> X que sigui contínua
• \phi(0) = a, \phi(1) =b
• per a qualsevol x de \phi (o sigui qualsevol x tal que existeixi t tal que \phi(t) = x), d(x, a) i d(x, b) siguin mínimes (o sigui no existeixi cap y de X tal que d(y, a) < d(x, a) o bé que d(y, b)<d(x, b)) d(a, b) = d(a, x) + d(x, b)

Pareix que aquesta seria una bona definició de segment, però em podríem admetre d’altres. És únic [a, b]? Perquè sinó hem de canviar la definició!
Definició (alternativa de ortogonalitat; li podríem dir definició de mediatriu bisectriu): Sigui X un espai mètric. Siguin a, b de X dos punts qualssevol i [a, b] un segment seu. Direm que [c, d] és mediatriu de [a, b] sii per a tot x que pertanyi a [c, d], d(x, a) = d(x, b)

Pregunta: quan la definició alternativa dóna el mateix concepte que el del producte escalar? A R^n? Penseu-hi!

PS: Potser no contesti als comentaris fins d’aquí uns dies (vacances!)