Blog d’en Xavi

Tothom sap que en matemàtiques bàsiques dos segments són perpendiculars un amb l’altre si formen un angle recte. Ara mateix no vull discutir què és un angle i les possibles generalitzacions a altres geometries o línies corbes. Ara només vull discutir el concepte de perpendicular (que sorprenentment podem tenir sense la definició d’angle)

Tothom sap que una generalització de perpendicularitat és la de ortogonalitat (producte cartesià en un espai vectorial, etc.). L’altre dia vaig estar pensant una definició alternativa. Deixeu-me que la motivi

En la geometria euclídea 2D, donat un segment AB, un segment perpendicular (que caurà a la mediatriu bisectriu del segment) V serà tal que qualsevol punt x de V estarà a la mateixa distància de A que de B (extrems del segment inicial)

Això també passa a la geometria euclídea 3D: donat un segment AB, tenim un pla de segments perpendiculars a AB que també compleixen que qualsevol punt x d’un segment qualsevol del pla perpendicular a AB dista igual d’A que de B

Fins i tot a l’esfera, si dibuixam un segment AB, tenim que un segment perpendicular a AB està sobre la mediatriu bisectriu i per tant també compleix la propietat

Per tant, pareix que podríem generalitzar i donar la següent definició:

Definició: Sigui X un espai mètric. Siguin a, b dos punts de X qualssevol. Un segment [a,b] és qualsevol aplicació:

• \phi: [0,1] –> X que sigui contínua
• \phi(0) = a, \phi(1) =b
• per a qualsevol x de \phi (o sigui qualsevol x tal que existeixi t tal que \phi(t) = x), d(x, a) i d(x, b) siguin mínimes (o sigui no existeixi cap y de X tal que d(y, a) < d(x, a) o bé que d(y, b)<d(x, b)) d(a, b) = d(a, x) + d(x, b)

Pareix que aquesta seria una bona definició de segment, però em podríem admetre d’altres. És únic [a, b]? Perquè sinó hem de canviar la definició!
Definició (alternativa de ortogonalitat; li podríem dir definició de mediatriu bisectriu): Sigui X un espai mètric. Siguin a, b de X dos punts qualssevol i [a, b] un segment seu. Direm que [c, d] és mediatriu de [a, b] sii per a tot x que pertanyi a [c, d], d(x, a) = d(x, b)

Pregunta: quan la definició alternativa dóna el mateix concepte que el del producte escalar? A R^n? Penseu-hi!

PS: Potser no contesti als comentaris fins d’aquí uns dies (vacances!)

De casualitat, avui he vist que al BOE s’ha publicat un concurs de mèrits per a la provisió de llocs d’assessors tècnics a l’exterior en l’àmbit d’educació. He mirat la convocatòria per damunt, la qual demana com a requisits indispensables que es domini l’idioma o els idiomes oficials dels països on vol anar l’assessor tècnic (francès a França, anglès i suec a Suècia, etc.)

M’ha sobtat que Andorra no té cap prerequisit. Jo recordava que Andorra té el català com a (únic) idioma oficial (!)

Per Nadal, me vull fer un autoregal: un bon llibre sobre corbes el·líptiques i formes modulars. Per això vos demanan si en sabeu d’algun. I que sigui accessible (ja sabeu el nivell i què hem vist de mates a la carrera; per favor que no comenci amb la teoria de Iwasawa directament; no vull res tan avançat. Una cosa com què són, la representació de Weirestrass, etc.)

Gràcies

Actualització: havia pensat, per ordre de preferència en:

1. [1] Arithmetic of Elliptic Curves. Silverman. Springer. 65$. 400 p
2. [2] Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Tom M. Apostol. Springer. 70$. 206p.
3. [3] A First course in modular forms. Fred Diamond. Springer. 70$. 436 p.
4. [4] Modular forms. Toshitsune Miyake. Springer. 70$. 335p
5. [5] Arithmetic Algebraic Geometry. Ed. Brian Conrad. American Mathematical Society bookstore. 79$. 569p
6. [6] Elliptic curves. Function Theory, Geometry, Arithmetic. Henry McKean. Cambridge university press. Lliures 26. 281 p.

Per casualitat, vaig arribar a trobar un documental de la BBC sobre el Darrer Teorema de Fermat (FLT en anglès):

• Podeu trobar el documental (en anglès) aquí
• Els subtítols també en anglès estan aquí (llevau l’extensió .txt)
• Si voleu saber-ne més, no dubteu en visitar aquesta pàgina.

Potser podria servir per alguna unitat didàctica!

Què és un nombre?

• Podem veure els nombres com a elements d’estructures amb certes propietats (com a grups, anells, etc. amb certes propietats), però això no és definir un objecte sinó descriure’l (llistar les seves propietats)
• Els nombres naturals es podien definir com a cardinals de conjunts finits
• Però els demés, simplement són abstraccions? Com podeu definir què és un enter?, un racional?, un real?. Hem de recorre necessàriament a la geometria?
• Podríem fer el camí invers?: si els nombres naturals han sortit dels cardinals de conjunts, llavors podríem veure els nombres reals com a cardinals de conjunts (ja que al cap hi ha la fi provenen d’ells). De quins conjunts?
• Podríem anar més enllà: si els nombres naturals han sortit dels cardinals de conjunts i els cardinals provenen dels conjunts, els nombres reals de quins conjunts vénen? De conjunts amb la funció de pertanènça difosa?

Algú me’n podria fer 5 ¢ del que pensa?

Per seguir la tradició, he pensat que podria estar bé fer una panera de Nadal.

S’admeten suggerències

Professors titulars universitaris, catedràtics d’escola universitària, professors col·laboradors, professors associats, etc.

Algú me pot aclarir quants de tipus de places de professors a la universitat hi pot haver i les seves característiques (funcionari/laboral, requeriments, mètode de contractació, limitacions de contracte en el temps, etc.)?

L’única categoria clara que tenc és de professor associat

L’altre dia pensava que així com hi ha el rànking ATP és al tennis, es podria fer un rànking IMU.

Els punts tenistics (que s’aconsegueixen guanyant tornejos) en el nostre cas podrien ser els punts que donarien les publicacions anuals, les classes que es donen a la universitats, intervencions a simposis internacionals, guiatge dels estudiants de doctorats, etc. (tot això amb els seus índexs d’impacte)

Així, podríem saber quin és el matemàtic millor d’aquest any

(record que el rànquing ATP dóna punts pel que es fa a l’any i no pel que s’ha fet anteriorment: així si un tenista fa segon en el torneig X valorat en 1000 punts, l’any que ve ha d’igualar aquests 1000 punts o si no se li resten la diferència; així que per fer un paper millor que l’any passat hem de guanyar el torneig aquest any)

Supòs que al 1995 el Wiles hagués estat el millor matemàtic (pel FLT que segurament doni molts punts!), però quin és el millor matemàtic de 2007?

Com tots sabeu hi ha moltes coses que no es poden construir amb regle i compàs en 2D (els qui no, podeu consultar [1] per anar fent boca).

L’altra dia me vaig demanar què passaria en 3D. No aspir a veure quin són els punts constructibles en 3D (i si poden formar un anell amb ells; crec recordar que no hi ha cossos induïts per )….

Només vaig demanar-me un problema molt senzillot: com contruir un cub amb regle i compàs donats dos punts A, B de (es tractaria de construir un cub que té longituds dels costats = |AB| i passar per A i per B)

Això em va plantejar moltes més preguntes:

1. Necessitem  tres punts no coplanars envers de dos per poder fer la construcció?
2. Són certs els teoremes de Mohr i de Poncelet en 3D (que diuen que basta un dels dos artilugis)?
3. Necessitem un regle de pla (que permetria fer plans-segments envers de segments)? O un compàs de sector (dibuixaria el tros de la frontera de la bolla)?
4. Necessitam en algun moment el concepte de ortogonalitat? O el duu implícit els instruments de regle i compàs? (és a dir amb el regle i compàs podem contruir segments perpendiculars i per tant no fa falta definir què és ortogonal)
5. Podem extendre la construcció a altres geometries (estic pensant en fer un cub a l’esfera de ? I altres geometries?

Bé, són preguntes enlaire. Era per veure què se vos ocorria

Tothom sap que la multiplicació ve de la suma (és iteració seva), i.e., (b vegades). Existeix qualque operació “| ” tal que + sigui iteració de | ? Quina és? Es pot caracteritzar de qualque manera? Si és que sí, es pot expressar d’alguna manera simple?

Penseu-ho!