El teorema de Gödel ens diu que hi ha coses que no podem demostrar en un sistema formal de primer ordre. Entre elles, si un programa arbitrari s’atura o no.
Creis que el nostre cervell té una estructura de primer ordre? O per contra hi opera una altra tipus de lògica: d’ordre major, lògica borrosa, lògica “genèrica” derivada de la teoria de categories, etc.?
Trobau que hi hagi qualque raó “objectiva” a favor i en contra?
Jo crec que no. Un argument podria ser que podem intuir si acaben o no els programes, encara que no ho poguem demostrar. Un altra seria que encara que un problema no tengui solució en un sistema formal de primer ordre, sempre pareix que la volem trobar (vegi’s [1] i [2] - l’intent de Woodin al cas de la Hipòtesi del Continu; són articles per llegir per damunt per saber de què van els progressos, no per intentar entendre totes les passes, en la meva opinió).
Una pregunta molt simple: quines fonts d’informació useu per saber les darreres novetats en matemàtiques: els darrers teoremes provats, les darreres tendències, etc.?
Sou tradicionals i estau subscrits a qualque revista científica?, llegiu els darrers articles de l’arXiv?, o per contra useu les noves tecnologies i escolteu algun podcastmatemàtic?
L’altre dia vaig veure un anunci d’un comptador de calories….
Això me va fer demanar una cosa: ¿què podem comptar els matemàtics en els objectes?. Els biòlegs podríen comptar nucleòtids; els químics mol·lecules (mols o reaccions); els físics particules elementals (o deformacions en l’espai temps). I els matemàtics? Vosaltres què comptaríeu a l’estructura dels objectes? Potser grups de simetries?
L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les matemàtiques. Hi va haver molta retroacció entre els blogxeixers, i en Félix va apuntar sobre si es podia o no definir els conceptes matemàtics. Jo li vaig respondre que en la meva opinió no (a no ser amb l’ús d’un llenguatge extern) però sí que es podien descriure (trobar les propietats que compleixen aquestes objectes) o caracteritzar (aclarir que aquests objectes són els únics que compleixen certes propietats).
Mentres deia tot això estava pensant en els sistemes formals i en caracteritzar els objectes amb l’ajuda de fórmules (p.e. “R és l’únic grup commutatiu que compleix….”). Bé, doncs ara afegeix un altre element a la discussió: caracteritzar-los mitjançant els morfismes entre aquests.
Qualsevol estructura té uns morfismes que preserven les propietats entre aquests (els homeomorfismes són els morfismes entre espais topològics, els morfismes de grups preserven l’estructura de grup, les funcions monòtones preserven l’ordre, etc.). Per tant es pot estudiar l’estructura estudiant els seus morfismes. I comparar estructures comparant els morfismes entre aquests.
Aquesta és la idea de la Teoria de Categories (Xesc, corregeix-me si m’equivoc!). I hi ha tendències a la lògica que volen fonamentar-la en la teoria de categories: Teoria de Conjunts Algebraica, Institucions (generalitzacions de la lògica mitjançant categories), Topos, etc.
No he tengut molt de temps de llegir els detalls tècnics, encara que l’important és que tenim una altra eina per descriure els objectes. Si algú té temps i ganes pot contribuir fent-nos 4 cèntims? O bé dir-nos on podem començar a llegir per entendre una mica de tot?
Xavi
PS: Un llibre que està prou bé (cobriria just les ensenyances d’en Joan Torrens a Àlgebra III de l’extingit pla d’estudis de la Llicenciatura de Matemàtiques però és accessible i planer) és “Basic Category Theory for Computer Scientists” de Benjamin C. Pierce (no el cerqueu a la biblioteca, el tenc fins dia 10 de març! ;-))
Algú s’ha demanat per què és tan difícil d’entendre la llei de proporcionalitat inversa (per part dels alumnes de ESO)? Voldria fer dues reflexions sobre això:
En primer lloc, la hem d’explicar. Vull dir:
Hi ha un salt qualitatiu entre la llei de proporcionalitat directa i inversa, i sempre se té la sensació que hi ha molta gent que en el tema de Proporcionalitat no entén ni el concepte ni el procediment (que per cert és molt artificial).
No s’hauria d’esperar un poc per explicar aquesta llei (quan sapiguessin el concepte de funció i estiguessin familiaritzats amb les funcions f(x) = k/x), sobre 4t d’ESO?
Realment fa falta explicar-la?: quantes aplicacions coneixeu de les magnituds inversament proporcionals a nivell d’ESO (tant a la vida real com al propi temari de les matemàtiques: on més s’usa?)?. De fet a mi no me la varen ensenyar mai. Me va bastar saber la proporcionalitat directa i saber que inversament proporcional = va amb la llei f(x) = k/x (que per cert, me varen ensenyar a física de segon de BUP)
En segon lloc, no la podríem reduir a un problema de proporcionalitat directa?. Com ho faríeu de forma natural? Se m’ocorr fer-ho amb puntuacions. Per concretar, podríem fer servir aquest problema:
Una associació de Matemàtics (!) decideix donar un premi al millor docent. Decideix repartir 240 euros en 3 premis de manera inversament proporcional a la posició del docent. Quants de doblers se’n pot endur un docent segons el lloc que ocupi?
Com a problema de proporcionalitat inversa, el problema és clar (ho poso a nivell formal):
Sigui f(x) = doblers que se’n dur una persona si queda en el lloc x.
Aleshores f(1) + f(2) + f(3) = 240
Com que f(x) és inversament proporcional, f(2) = f(1)/2, f(3) = f(1)/3. Per tant, (1+1/2+1/3) f(1) = 240, pel que f(1) = 240/11.
D’aquí f(2) = 120/11, f(3) = 240/33
Però podríem veure el problema com puntuar els docents. Suposem que a cada docent se li dóna una sèrie de punts (positius o zero) en funció de la posició on quedi: per quedar primer tenim molta puntuació, per quedar segon n’hem de tenir menys, i per quedar segon, molt menys. Si deim P(x) = punts que assignam per quedar a la posició x, tenim que l’assignació de P(1), P(2) i P(3) es fa per la llei de proporcionalitat inversa, però el problema, com a problema de punts, ja es veu com a directa (”si tens tots els punts, te’n duus tot el premi, aleshores si tens, 10 punts, …”) que crec que és més fàcil d’entendre que abans (com explicaríeu que f(1) + f(2) + f(3) = 240 en una frase?).
Per cert, com assignar P(1)?
No sé, què trobau de tot plegat?
Actualització: Realment, allà on diu “proporcionalitat inversa”, hauria de dir “repartiments inversament proporcional” (el problema dels obrers serveix per qualque cosa)
Qui té els drets d’autor del material explicat a les classes? O sigui, si vos fan una classe per exemple de teoria de conjunts: a) el professor ha de citar les fonts d’on ha tret certs materials?, b) si un alumne publica els seus apunts, ha de dir que vénen de la classe del professor X?, ….
Tot això són drets morals, bàsicament el dret de paternitat (que crec que són els únics que es poden aplicar a les Matemàtiques: no es poden patentar (¿ni tenir drets de patrimonials?) les fórmules matemàtiques), però si envers de fer una classe de Matemàtiques feim una classe de Literatura? Tenim sempre dret de cita?
