Blog d’en Xavi

L’altre dia vos proposava un problema de tassons. He reflexionat un poc en aquest problema…. la meva modelització aniria sobre reticles i el nombre mínim de moviments per passar d’un conjunt determinat d’un reticle a un altre conjunt determinat dins el mateix reticle (amb l’única condició de que aquests conjunts han de tenir el mateix cardinal).

He pensat que la solució general a aquest problema per mi és bastant difícil, i la he intentat simplificar eliminant una variable (el conjunt d’arribada). Tot seguit vos oferesc el problema simplificat:

Tenim un conjunt de tassons disposats de la següent manera:

[]T[]T

T[]TT

[]T[]T

i volem saber el nombre mínim de moviments (només són permesos els moviments dels tassons a buits adjacents al lloc que ocupen) necessaris per a què els tassons estiguin tots apinyats (sense buits), de qualsevol forma.

La meva modelització seria amb reticles:

Sigui A un subconjunt de . Hauríem de definir què és ser apinyat i què no. I després hauríem de definir un moviment natural com aquell que passa un element d’un conjunt a un espai adjacent all lloc que ocupa aquest element. I després definir s(A) com el nombre mínim de moviments per passar de A a A* un conjunt apinyat.

Les definicions són difícils de formalitzar però tothom té la intuïció sobre els conceptes. Per això, tothom pot deduir que si A i B són disjunts, aleshores . Tenint en compte que si A té dos punts , on , llavors (una fita molt grollera)

Algú s’atreveix a trobar la fórmula exacta de s(A)?

PS: Al conjunt de l’exemple s(A) = 3 (els punts aïllats, tots a la dreta) i la meva fita dóna (!)

Actualització (16/03/08): El ser un conjunt apinyat es podria definir com que cada element està a distància mínima possible de tots els altres elements. Per exemple, el conjunt:

[][]A[]

[][][][]

[]B[]C

no seria apinyat

ni el conjunt

[][]A[]

[][]B[]

[][][]C

tampoc (C pot estar més aprop de A i de B)

però sí el conjunt

[][]A[]

[][]BC

[][][][]

ja que C es mogui o no ja no pot estar més aprop de A ni de B (i el mateix passa a A i a B)

O sigui, podríem definir l’apinyament de A, ap(A), com:

ap(A) =

i dir que A està apinyat si ap(A) és mínim (qualsevol reordenació dels Card(A) elements de A tendria major apinyament)

Serà vera que la matemàtica està per tot?, o almenys que la ment humana interpreta la natura (i altres problemes) de forma matemàtica?…. hem deia això quan escurant he volgut col·locar els tassons de l’eixugaplats i m’he demanat sobre els nombre mínim de moviments que havia de fer per col·locar-los en línia de dos. Vos explic:

Jo tenc tres línies on puc posar tassons a les quals hi caben exactament 7 tassons. A cada lloc (els suposem discrets) hi pot haver un tassó o un buit. Per exemple, podem tenir:

1: T[]TT[]TT

2: [][][]TT[][]

3: [][][]T[][][]

on [] denota buit i T un tassó

Aleshores vull passar d’aquesta configuració a:

1: [][][]TTTT

2: [][][]TTTT

3: [][][][][][][]

Quin és el nombre mínims de moviments que he de fer per aconseguir-ho (un moviment és un pas d’un tassó a un buit adjacent). I en general? Com modelitzaríeu aquesta situació?

Algú s’ha demanat per què és tan difícil d’entendre la llei de proporcionalitat inversa (per part dels alumnes de ESO)? Voldria fer dues reflexions sobre això:

1. En primer lloc, la hem d’explicar. Vull dir:
   • Hi ha un salt qualitatiu entre la llei de proporcionalitat directa i inversa, i sempre se té la sensació que hi ha molta gent que en el tema de Proporcionalitat no entén ni el concepte ni el procediment (que per cert és molt artificial).
   • No s’hauria d’esperar un poc per explicar aquesta llei (quan sapiguessin el concepte de funció i estiguessin familiaritzats amb les funcions f(x) = k/x), sobre 4t d’ESO?
   • Realment fa falta explicar-la?: quantes aplicacions coneixeu de les magnituds inversament proporcionals a nivell d’ESO (tant a la vida real com al propi temari de les matemàtiques: on més s’usa?)?. De fet a mi no me la varen ensenyar mai. Me va bastar saber la proporcionalitat directa i saber que inversament proporcional = va amb la llei f(x) = k/x (que per cert, me varen ensenyar a física de segon de BUP)
2. En segon lloc, no la podríem reduir a un problema de proporcionalitat directa?. Com ho faríeu de forma natural? Se m’ocorr fer-ho amb puntuacions. Per concretar, podríem fer servir aquest problema:

Una associació de Matemàtics (!) decideix donar un premi al millor docent. Decideix repartir 240 euros en 3 premis de manera inversament proporcional a la posició del docent. Quants de doblers se’n pot endur un docent segons el lloc que ocupi?

Com a problema de proporcionalitat inversa, el problema és clar (ho poso a nivell formal):

Sigui f(x) = doblers que se’n dur una persona si queda en el lloc x.

Aleshores f(1) + f(2) + f(3) = 240

Com que f(x) és inversament proporcional, f(2) = f(1)/2, f(3) = f(1)/3. Per tant, (1+1/2+1/3) f(1) = 240, pel que f(1) = 240/11.

D’aquí f(2) = 120/11, f(3) = 240/33

Però podríem veure el problema com puntuar els docents. Suposem que a cada docent se li dóna una sèrie de punts (positius o zero) en funció de la posició on quedi: per quedar primer tenim molta puntuació, per quedar segon n’hem de tenir menys, i per quedar segon, molt menys. Si deim P(x) = punts que assignam per quedar a la posició x, tenim que l’assignació de P(1), P(2) i P(3) es fa per la llei de proporcionalitat inversa, però el problema, com a problema de punts, ja es veu com a directa (”si tens tots els punts, te’n duus tot el premi, aleshores si tens, 10 punts, …”) que crec que és més fàcil d’entendre que abans (com explicaríeu que f(1) + f(2) + f(3) = 240 en una frase?).

Per cert, com assignar P(1)?

No sé, què trobau de tot plegat?

Actualització: Realment, allà on diu “proporcionalitat inversa”, hauria de dir “repartiments inversament proporcional” (el problema dels obrers serveix per qualque cosa)

L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les Matemàtiques…. doncs bé, aprofitant aquesta dèria temporal que m’ha agafat, he llegit uns quants articles sobre teories alternatives a l’estàndard teoria de conjunts de Zermelo-Frankel (no els suficients!), i he caigut en teories que neguen l’axioma de regularitat (o de fundació).

Això m’ha recordat a vells coneguts i he pensat que si definissim una estructura artiniana com una estructura A tal que compleix la condició de cadena descendent per a qualsevol successió tals que pertanyen a (amb < com a ordre de la cadena) (per exemple un anell artinià seria una estructura artiniana amb A = l’anell, com el conjunt d’ideals de A i < com a )…. Bé doncs si definissim això tendríem que els conjunts com a teoria de ZF és una estructura artiniana (amb A=conjunt, , < com a la inclusió de conjunts). Es podria investigar la connexió….

Per cert, on puc trobar més referències sobre hiperconjunts i coses per l’estil? Algú m’ho pot dir?

Matemàticament quina definició s’empra per dir que una cosa és aleatòria? Algú ho sap?

He trobat cosa al respecte ([1], [2], [3], [4], [5] i [6]) però no n’he tret res en clar. Pareix que depèn un poc de convencionalismes i les definicions no diuen res del cas no enumerable (estic pensant en d-xarxes aleatòries per exemple)

M’agradaria que algú m’ajudàs amb aquests dos problemes:

1. Trobar una bona fita superior d’a i b nombres naturals que satisfan .

Cerc una demostració elegant (4 o 5 línies). En tenc una però és més llarga.

2. Quin nom té aquesta estructura següent?: Tenim (A, *),(A,·),(A, |) tres monoides que satisfan: (a|b)·(c|d) = (a*b)*(c*d).

Qualcú me pot ajudar? Gràcies.

Algú sap com es diu una aplicació entre dos monoides (A, ·) i (A, *), phi: A –>A, tal que A·B = phi(A)*phi(B)? Es pot englobar en qualque estructura general, on (A, ·) i (A, *) puguin tenir dominis diferents?

Ahir un informàtic me va explicar un problema d’enginy. És el problema dels cinc filòsofs xinesos. Es veu que aquest problema és un clàssic a la carrera d’Informàtica i anàlogues. El passo a descriure:

En una taula redona tenim disposats 5 bastonets xinesos i 5 filòsofs xinesos. Cada filòsof xinès té a l’esquerra i a la dreta un sol bastonet, que comparteix amb el comensal de la seva esquerra i amb el comensal de la seva dreta. Just davant del cada filòsof hi ha un bol de tallarins.

Per menjar, el filòsof necessita dos bastonets (provau de menjar-los amb un sol bastonet!). I per tant o bé pot esperar (en el problema es diu que pensa, que és el que fan els filòsofs), o bé menja (té dos bastonets), o bé té només un bastonet en la mà

El problema consisteix en saber com sincronitzar els filòsofs per a què cap filòsof no es mori de fam

Els informàtics resolen això amb algorismes, definint què vol dir no morir-se de fam (no esperar més d’un temps; trobar-se que no hi ha menjar, si cada bol conté una quantitat finita de menjar; etc.). Però m’agradaria veure si algú sap com resoldre’l matemàticament (i sobretot de manera òptima; sigui quina sigui la vostra definició de resoldre’l).

Per cert, trobeu que hi ha problemes clàssics a la carrera de Matemàtiques? En la vostra opinió quins són?

PS: Per més informació: [1], [2]