Blog d’en Xavi

Llanç una pregunta amb transfons filosòfic:

El teorema de Gödel ens diu que hi ha coses que no podem demostrar en un sistema formal de primer ordre. Entre elles, si un programa arbitrari s’atura o no.

Creis que el nostre cervell té una estructura de primer ordre? O per contra hi opera una altra tipus de lògica: d’ordre major, lògica borrosa, lògica “genèrica” derivada de la teoria de categories, etc.?

Trobau que hi hagi qualque raó “objectiva” a favor i en contra?

Jo crec que no. Un argument podria ser que podem intuir si acaben o no els programes, encara que no ho poguem demostrar. Un altra seria que encara que un problema no tengui solució en un sistema formal de primer ordre, sempre pareix que la volem trobar (vegi’s [1] i [2] - l’intent de Woodin al cas de la Hipòtesi del Continu; són articles per llegir per damunt per saber de què van els progressos, no per intentar entendre totes les passes, en la meva opinió).

L’altre dia llegint un llibre, vaig veure aquest que definia el mcd(a,b) com “el màxim comú divisor estrictament positiu de a i de b si a i b eren tots dos distints de zero i 0 altrament”.

Me va sorprendre aquesta definició i vaig intentar justificar-la (òbviament el cas que algun dels arguments fos zero) de dues maneres:

1. Amb la definició de divisor comú

Donats , podem definir que c és un divisor comú de a i de b c és un divisor de a i c és un divisor de b simultàniament, i.e. i per alguns (nota: aquesta és la definició més general de divisor. Hi ha altres definicions que exigeixen que c sigui distint de zero, per a què el concepte de divisor en la divisor entera i aquest concepte coincideixin. Ara bé, si elegim que c sigui distint de zero, aleshores no hi ha una correspondència entre múltiples i divisors d’un nombre).

Per tant, tenim que donats, a, b sencers, podem definir el conjunt de divisors de a i b com

I per tant, definir el màxim comú divisor de a i de b com:

Aleshores si a no és zero, el mcd(a,0) és igual a

(ja que qualsevol nombre és divisor de zero)

i

que no existeix

Per tant, amb una definició raonable del mcd, arribem a la conclusió de què mcd(0,a) = a si a no és zero i que mcd(0,0) no existeix.

2. Amb un poc d’àlgebra (ideals amagats)

Ara bé, facem servir un poc d’Àlgebra.

Notem per ,  i de forma més general

O sigui és l’ideal general pel conjunt a

Es pot veure que donats a, b enters, tenim que:

Si b =0 i a no és zero, tenim que (a, 0) = (a). Per tant, el mcd(0,a) hauria de ser a.

Si a i b són zero, llavors, (0,0) = {0} = (0). Per tant, el mcd(0,0) hauria de ser 0.

Conclusions

Aleshores, amb tot, trec que:

1. una bona definició per  mcd(0,a) seria a
2. una bona definició per mcd(0,0) seria 0
3. El llibre “s’equivocava”: de totes totes el mcd(0,a) no és zero (tenc dos arguments per demostrar divergències amb aquesta definició).

Algú més s’atreveix a donar un altra argument? Per favor, animeu-vos!

El quilogram és la única unitat bàsica del Sistema Internacional que encara es defineix amb l’ús d’un artefacte (o sigui un objecte físic fabricat com a patró).

Fins fa poc el metre encara es definia utilitzant el patró que es conservava a París, o almenys com a mesura pràctica: es prenia com a metre el patró de París envers de tornar a mesurar el meridià terrestre. Actualment el metre es defineix en termes de constants naturals (la distància que recorre la llum en 1/299 792 458 segons).

Hi ha diverses raons per voler defugir de definicions basades en artefactes i adoptar definicions basades en constants naturals: el deteriode dels artefactes, la reproducció universal de les unitats de mesura, etc. Actualment s’intenta adoptar una definició normalitzada de quilogram, i de fet, hi ha diverses propostes.

Des d’aquí en llanç una: per què no definir-la com la curvatura espai-temps unitària? Per poder definir què és una curvatura espai-temps unitària simplement hauríem d’estudiar geometria i mesurar-la, per exemple, amb la desviació de la llum que estigués “molt aprop” de l’objecte…..

A veure si algú la secunda i li enviam al Bureau International des Poids et Mesures

Aquí teniu la distribució per edats dels docents de les Illes Balears. Per exemple, la dels Professors d’Ensenyament Secundari al Centres Públics a l’Illa de Mallorca és:

 

Anys	Persones
20-24	5
25-29	285
30-34	650
35-39	588
40-44	529
45-49	397
50-54	290
55-59	184
60-64	75
Més de 64	9

Aquesta és una dada interessant: per una part, interessa als docents, ja que permet vislumbrar contra qui “competim” i quantes places és probable que surtin a concurs de trasllats/oposició l’any que ve (places que ocupen els majors de 64 anys); i per una altra perquè pareix que les dades es reparteixen segons una corba normal.

Realment és així? Si la resposta és afirmativa, quins paràmetres fan que estigui el més aprop possible a les dades?. Aquestes preguntes són fàcilment responibles.

El que probablement no és tan fàcil de respondre és per què dades que sorgeixen d’un procés periòdic s’acaben modelant en forma de corba normal (si és que al final és així). Vull dir, idealitzant-ho tot molt: al principi dels temps ningú era professor. Els primers professors degueren ser les primeres persones que acabaren la carrera i que varen aprovar les primeres oposicions. Per tant, la distribució d’edats era de professors entre 20-24 anys i la resta 0. Després de anys, es tornen a convocar unes altres oposicions (per la nova fornada de llicenciats més la gent que no va aprovar les primeres). La gent que aprova aquestes oposicicions és o bé de 20-24 (els novell) o bé de 20-24 + k anys (els que no varen aprovar). Per tant, després de k anys, tenim una distribució composta per aquesta gent que aprova les oposicions més la gent que va aprovar les oposicions anteriors, de 20-24 + k (que n’hi ha X)…..

Si suposem que cada cop surten les mateixes places, que transcorren els mateixos anys entre oposició i oposició, i que la gent que aprova cada oposició està distribuïda igualitàriament entre la gent recent llicenciada, la gent que ha suspès unes oposicions, la gent que n’ha suspeses dues, etc. (ho sigui, el fet que un aprovi és independent dels anys que duu estudiant), aleshores algú pot provar que surt una normal al llarg del temps?

Fa uns dies que IB3 anuncia que estrenarà L’Ordre (d’en Van Damme) doblada en Balear (el dialecte) dimecres 31/04/08.

No entraré si és bo o dolent doblar películes en les distintes variants idiomàtiques (català estàndard, català central, català balear, català valencià, alguerès, rossellonès, etc.), ni amb les distintes polítiques que hi ha a les comunitats linguístiques d’arreu del món per fomentar o suprimir els distints intents de fer-ho (de doblar películes en andalús, argentí; anglès australià, etc.).

Però sí me faria ganes dir una cosa: es podria haver triat una altra pel·lícula en ser la primera en ser doblada al Balear!. Com passarem a la història: com aquella communitat lingüística que va triar doblar una d’en Van Damme?. Per què no una peli un poc més cultural?. Encara que sobre gustos no hi ha res escrit

L’altre dia parlàvem sobre quin dia seria el millor per posar el dia de les Matemàtiques. En Fèlix, va apuntar una molt bona idea: que canviàs amb els anys. I en Xesc va insinuar que ell seguia el dia de pi.

Doncs per què no els fussionam?

Si agafem els digits en base 10 de pi: 3.14159265358979323846…

Podríem definir la funció “la data de les matemàtiques” com f:N–>N^2, que assignàs a cada any, un parell ordenat (mes, dia), de manera que el mes i el dia tenguessin el major nombre de dígits possible. O sigui,

f(1) = (3, 14); podríem collir f(1) = (3, 1), però no és maximal. I (31, 4) no es correspon a cap data.

f(2) = (1, 5),

f(3) = (9,26),

f(4) = (5, 3),

etc.

Com calcularíeu el valor f(n) per a n arbitrari. No es fàcil, crec jo, dir-li a f que culli el parell maximal i que a més tengui sentit com a data.  Hi ha una fórmula tancada recurrent senzilla? Què seria f(2008)? I f(2009)?. Heu de tenir en compte els anys de traspàs (perquè podreu collir la ocurrència (2,29) si apareix).

Ja sé que és una costum cultural dels darrers temps (segurament inútil) posar dies mundials o si més no dies de. En tenim molts: d’objectes, de disciplines, dia de l’aigua, dia del teatre, dia de la Terra, dia de la llibertad de premsa, dia del medi ambient, el famòs dia internacional del llibre,… fins i tot de ben estranys: dia de l’aproximació de pi. ([1], [2])

Podria estar bé tenir un dia de les Matemàtiques. Però això sí, quin dia triaríeu?. Hauria de ser per alguna raó matemàtica. Propostes! (nota: teniu en compte que no tots els anys tenen 365 dies)

Des d’avui pens fer boicot a la Xina (no comprar productes xinesos de cap clase) per mor de la repressió tibetana. Ja fa molts d’anys que el règim comunista de Xina intenta eliminar la cultura tibetana. Ara és una bona oportunitat a ran dels Jocs Olímpics per fer que s’acabi: Boicot a la Xina

L’altre dia vaig veure un anunci d’un comptador de calories….

Això me va fer demanar una cosa: ¿què podem comptar els matemàtics en els objectes?. Els biòlegs podríen comptar nucleòtids; els químics mol·lecules (mols o reaccions); els físics particules elementals (o deformacions en l’espai temps). I els matemàtics? Vosaltres què comptaríeu a l’estructura dels objectes? Potser grups de simetries?

PS: Per cert, no he trobat el vídeo en català.

L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les matemàtiques. Hi va haver molta retroacció entre els blogxeixers, i en Félix va apuntar sobre si es podia o no definir els conceptes matemàtics. Jo li vaig respondre que en la meva opinió no (a no ser amb l’ús d’un llenguatge extern) però sí que es podien descriure (trobar les propietats que compleixen aquestes objectes) o caracteritzar (aclarir que aquests objectes són els únics que compleixen certes propietats).

Mentres deia tot això estava pensant en els sistemes formals i en caracteritzar els objectes amb l’ajuda de fórmules (p.e. “R és l’únic grup commutatiu que compleix….”). Bé, doncs ara afegeix un altre element a la discussió: caracteritzar-los mitjançant els morfismes entre aquests.

Qualsevol estructura té uns morfismes que preserven les propietats entre aquests (els homeomorfismes són els morfismes entre espais topològics, els morfismes de grups preserven l’estructura de grup, les funcions monòtones preserven l’ordre, etc.). Per tant es pot estudiar l’estructura estudiant els seus morfismes. I comparar estructures comparant els morfismes entre aquests.

Aquesta és la idea de la Teoria de Categories (Xesc, corregeix-me si m’equivoc!). I hi ha tendències a la lògica que volen fonamentar-la en la teoria de categories: Teoria de Conjunts Algebraica, Institucions (generalitzacions de la lògica mitjançant categories), Topos, etc.

No he tengut molt de temps de llegir els detalls tècnics, encara que l’important és que tenim una altra eina per descriure els objectes. Si algú té temps i ganes pot contribuir fent-nos 4 cèntims? O bé dir-nos on podem començar a llegir per entendre una mica de tot?

Xavi

PS: Un llibre que està prou bé (cobriria just les ensenyances d’en Joan Torrens a Àlgebra III de l’extingit pla d’estudis de la Llicenciatura de Matemàtiques però és accessible i planer) és “Basic Category Theory for Computer Scientists” de Benjamin C. Pierce (no el cerqueu a la biblioteca, el tenc fins dia 10 de març! ;-))