Blog d’en Xavi

Molta gent sap que l’aigua que deixam anar pel forat del lavabo “gira cap a la dreta” a l’hemisferi nord, i “gira cap a l’esquerra” a l’hemisferi sud (de la Terra). Això està produït pel moviment de rotació de la Terra i és conseqüència de l’anomenat Efecte de Coriolis.

De fet hi ha una excursió a l’equador terrestre per veure el canvi d’aquest efecte: els assistents passegen des de l’hemisferi nord fins a l’hemisferi sud just passant per damunt l’equador terreste. A cada part veuen com “gira” l’aigua i que just damunt l’equador no ho fa.

L’altre dia me vaig demanar si la velocitat d’aquest “gir” depenia de la latitud terrestre (a l’equador no gira, i quan més al nord o més al sud més marcada és aquesta tendència) i les aplicacions per mesurar-la de forma precisa (amb un làsser per exemple) i poder calcular la latitud terrestre on ens trobam

Encara no he trobat la resposta, encara que intuesc que sí, sobretot per les mateixes aplicacions del Pèndul de Foucault (que es basa en els mateixos principis):

Un péndulo de Foucault situado en el ecuador no rota. Un péndulo situado en uno de los polos rota una vez al día. Un péndulo situado en cualquier otro punto de la Tierra rota con una velocidad inversamente proporcional al seno de su latitud, o bien proporcional a la cosecante de la latitud; de modo que si se sitúa a 45° rota una vez cada 1,4 días y a 30° cada 2 días.

Qui té els drets d’autor del material explicat a les classes? O sigui, si vos fan una classe per exemple de teoria de conjunts: a) el professor ha de citar les fonts d’on ha tret certs materials?, b) si un alumne publica els seus apunts, ha de dir que vénen de la classe del professor X?, ….

Tot això són drets morals, bàsicament el dret de paternitat (que crec que són els únics que es poden aplicar a les Matemàtiques: no es poden patentar (¿ni tenir drets de patrimonials?) les fórmules matemàtiques), però si envers de fer una classe de Matemàtiques feim una classe de Literatura? Tenim sempre dret de cita?

Com està tot això legalment? Algú ho sap?

L’altra dia em demanava sobre els fonaments de les Matemàtiques…. doncs bé, aprofitant aquesta dèria temporal que m’ha agafat, he llegit uns quants articles sobre teories alternatives a l’estàndard teoria de conjunts de Zermelo-Frankel (no els suficients!), i he caigut en teories que neguen l’axioma de regularitat (o de fundació).

Això m’ha recordat a vells coneguts i he pensat que si definissim una estructura artiniana com una estructura A tal que compleix la condició de cadena descendent per a qualsevol successió tals que pertanyen a (amb < com a ordre de la cadena) (per exemple un anell artinià seria una estructura artiniana amb A = l’anell, com el conjunt d’ideals de A i < com a )…. Bé doncs si definissim això tendríem que els conjunts com a teoria de ZF és una estructura artiniana (amb A=conjunt, , < com a la inclusió de conjunts). Es podria investigar la connexió….

Per cert, on puc trobar més referències sobre hiperconjunts i coses per l’estil? Algú m’ho pot dir?

Fa temps que me deman el mateix: hi ha alguna revista de matemàtiques per al públic general?

Realment mai he trobat cap revista de contingut matemàtic per al públic general que sigui fàcilment accessible (per exemple en quioscos). No m’estic referint a revistes de matemàtiques per matemàtics (que n’hi ha però no als quioscos), sinó a revistes per la gent corrent.

Si anau a un quiosc qualsevol hi ha revistes per a tota classe de gustos: de vela, de costura, de música, de llibres, d’informàtica, de cuina, de viatges, de tatuatges, de drogues, de boxa, de moda, d’astronomia, de ciència en general (”Investigación y Ciencia” i “Mundo científico”), etc. Però no n’hi ha cap de matemàtiques (fins i tot a les de ciència en general només hi ha una pàgina de puzzles matemàtics al final). Cap que expliqui problemes, trencaclosques, algun teorema xocant de matemàtiques… coses que a un matemàtic no li està de més saber, o que sap, però que sorprenen a la gent corrent (a l’estil dels llibres de n’Ian Stewart potser).

Per què? Potser per què les matemàtiques no han assolit el reconeixement social que tenen altres coses. Falta que es popularitzin, que es reconegui que les matemàtiques són útils, que hi ha matemàtiques en tot (com actualment passa amb la informàtica o amb la biologia crec). O, més difícil, que es reconegui la seva vessant lúdica i de diversió (per així comprar una revista de matemàtiques com la gent compra una revista de costura o uns passatemps).

Potser hem de tenir esperança en aquest darrer sentit (el vessant lúdic) perquè ara fa poc s’han popularitzat els jocs competitius que requereixen pensar un poc (Sudoku, Brain X…)

Què trobau de tot? Algun dia trobarem al quiosc del barri una revista que es tituli “CosmoMatemáticas” ?

Algú sap com es diu una aplicació entre dos monoides (A, ·) i (A, *), phi: A –>A, tal que A·B = phi(A)*phi(B)? Es pot englobar en qualque estructura general, on (A, ·) i (A, *) puguin tenir dominis diferents?

Tothom sap que des de fa un poc ençà, tenim l’euro més fort que el dòlar (això en argot econòmic significa que un euro val més que un dòlar; per cada euro tenim un parell de dòlars). Això sempre es compta com una pega per les empreses europees a l’hora de exportar: els habitants dels EUA per exemple els surt més car comprar un producte de la UE que un seu (en el supòsit que es venguessin a les mateixes unitats econòmiques: 1€ i 1$)

Ara bé, potser pot constituir una ventatge en alguns casos: he pensat que si un fabricant pot comprar els seus components a fora (als EUA), li sortiran més barats que aquí (perquè l’euro > dòlar). Si després de sumar-hi les despeses d’enviament encara són més barats, aleshores, després de montar el producte, podria vendre’l a un preu més baix que la competència, inclús a un preu més baix del que costaria amb el canvi euro/dòlar. No sé si m’he explicat

Això potser es podria fer amb productes que depenen molt fortament dels components que els integren i no tant del procés de montatge. Estic pensant per exemple en avions: si suposam que els costos de personal de montar un avió a EUA i a Europa són els mateixos, aleshores els europeus podríem comprar els components de l’avió a EUA i montar-los aquí. Això ens sortiria més barat que comprar els components dins la UE.

Depèn com es faci es podrien abaratir molt els costos de producció… i estic pensant que, si tot va bé, fins i tot podríem vendre l’avió als EUA a un preu molt menor al d’allà

Voldria comentar algunes coses:

• En primer lloc, hem de destacar el gran pronunciament (és ironia) del Sr. Ratzinger que amb to diví (qui sinó el podia tenir!) ha anunciat que el judici d’en Galileo Galilei va ser “racional i just“. Salvant les distàncies, segurament d’aquí uns anys hi haurà algun que altre que dirà que els judicis que Guantànamo varen ser també racionals i justos. Ah! no, que no hi va haver judicis
• En segon lloc, hem de celebrar que el COE hagi retirat la iniciativa de posar lletra a l’himne espanyol. No vos heu demanat per què el COE, i no algun dels partits polítics que seria el més natural, ha volgut posar una lletra a un himne que no en té? Qui és n’Alejandro Blanco? A mi me sona a alguna mà negre (sobretot una de dreta). Hauríem d’estar orgullosos de tenir un himne sense lletra (així tothom pot interpretar-lo com vulgui; si és que hem d’estar orgullosos de tenir himne). Estic molt content que com a mínim hagin fet cas a les crítiques i hagin retirat l’himne. La llàstima és que les crítiques es centraven en la lletra i no en el perquè de la iniciativa
• Ahir hi ha haver una decissió del Parlament europeu que demanava que es prohibís que els infants anassin amb mocador a l’escola. És una opinió personal però això me pareix patètic. Alerta, no defens aquells qui obliguen a posar-se mocador a les persones. Ni molt manco. Defens la idea que es pugui elegir dur-lo posat. Per què hem d’obligar que una persona es llevi el mocador quan el vol dur? Faríem el mateix amb una velleta que duu un mocador per tapar-se el cap? I amb un al·lot que duu gorra? Per mi simplement és una manera de vestir. Crec que el Parlament europeu no farà pròximament un pronunciament sobre els nins i les gorres, o sobre les deportives en dies que no tenim gimnàsia…. (o sí!)

M’agradaria saber si algú sap quin són els fonaments reals de les Matemàtiques. M’explic: sempre se’ns ha explicat que totes les matemàtiques es poden fonamentar amb la teoria de conjunts i la lògica, però tenc alguns reticències. Corregiu-me si m’equivoc:

1. En primer lloc, la teoria de conjunts no té una sola axiomatització: hi ha la més coneguda axiomatització de Zermelo-Fraenkel, la de Neuman-Bernays-Gödel i moltes altres (n’hi ha fins i tot que suposen que existeix el Conjunt Universal)
2. Encara suposant que la teoria de ZF és la “bona”, hi ha coses que són independents d’ella: la hipòtesi del continu, l’existència de cardinals grans, etc. Per tant, un altre cop a elegir. Per tant, pareix que tenim tantes fonamentacions com teories axiomàtiques de conjunts poden fer
3. Pareix que no existeix una definició/descripció de què és un conjunt. Ho dic en el sentit que pareix que no podem distingir fàcilment entre una classe i un conjunt. Quina classe de propietat fa que {x | P(x)} sigui un conjunt o una classe?
4. Aparentment la lògica de primer ordre s’aplica a tot, fins i tot a la consistència, independència axiomàtica, etc. dels conjunts, però ¿no utilitza la lògica la teoria de conjunts? (simplement per exemple per definir una fórmula, un model, etc. s’empra el concepte del conjunt). No tenim una dependència cíclica: teoria de conjunts <–> lògica de primer ordre?
5. A més hi ha altres disciplines que intenten ajudar a fonamentar les matemàtiques: teoria de categories, lògica algebraica, lògica universal, lògica borrosa, lògica multivaluada, lògica infinitària (nombre infinit de connectius a les fórmules), etc. Però crec que totes aquestes matèries tenen com a fonament la teoria de conjunts/classes (les utilitzen en qualque moment donat)

No sé no vos pareix que esteim un poc en bolquers sobre aquest tema? Algú em pot fer quatre cèntims de com estar la cosa i els fonaments sòlids que tenim per fundar les bases de les matemàtiques? O com a mínim que li pareix tot plegat? Gràcies.

Ja fa temps que me ronda una idea pel cap que es podria sintetizar amb el següent slogan: el graf de mutacions d’una espècie ha de tenir una dimensió fractal concreta. On dic graf de mutacions, llegeixi’s algun tipus de diagrama, i on dic dimensió fractal concreta llegeixi’s algun tipus d’invariant

Origen de la idea

La idea se me va ocorre quan fa ja dos o tres anys vaig veure un documental on deien que la SIDA i el grip eren dos virus que mutaven molt ràpidament i per tant era molt difícil fer medicaments que els combatissin, mentres que mostraven el seu graf de mutacions (concretament de la SIDA).

Se me va ocorre que potser es podrien predir les mutacions que farien aquest virus, potser no individualment però sí globalment. Potser el seu graf de mutacions tenia una forma concreta (i potser aquesta forma es podria caracteritzar amb un fractal i amb això amb una dimensió fractal)

Continue reading ‘ADN, grafs, invariants i mutacions’ »

Tothom sap que en matemàtiques bàsiques dos segments són perpendiculars un amb l’altre si formen un angle recte. Ara mateix no vull discutir què és un angle i les possibles generalitzacions a altres geometries o línies corbes. Ara només vull discutir el concepte de perpendicular (que sorprenentment podem tenir sense la definició d’angle)

Tothom sap que una generalització de perpendicularitat és la de ortogonalitat (producte cartesià en un espai vectorial, etc.). L’altre dia vaig estar pensant una definició alternativa. Deixeu-me que la motivi

En la geometria euclídea 2D, donat un segment AB, un segment perpendicular (que caurà a la mediatriu bisectriu del segment) V serà tal que qualsevol punt x de V estarà a la mateixa distància de A que de B (extrems del segment inicial)

Això també passa a la geometria euclídea 3D: donat un segment AB, tenim un pla de segments perpendiculars a AB que també compleixen que qualsevol punt x d’un segment qualsevol del pla perpendicular a AB dista igual d’A que de B

Fins i tot a l’esfera, si dibuixam un segment AB, tenim que un segment perpendicular a AB està sobre la mediatriu bisectriu i per tant també compleix la propietat

Per tant, pareix que podríem generalitzar i donar la següent definició:

Definició: Sigui X un espai mètric. Siguin a, b dos punts de X qualssevol. Un segment [a,b] és qualsevol aplicació:

• \phi: [0,1] –> X que sigui contínua
• \phi(0) = a, \phi(1) =b
• per a qualsevol x de \phi (o sigui qualsevol x tal que existeixi t tal que \phi(t) = x), d(x, a) i d(x, b) siguin mínimes (o sigui no existeixi cap y de X tal que d(y, a) < d(x, a) o bé que d(y, b)<d(x, b)) d(a, b) = d(a, x) + d(x, b)

Pareix que aquesta seria una bona definició de segment, però em podríem admetre d’altres. És únic [a, b]? Perquè sinó hem de canviar la definició!
Definició (alternativa de ortogonalitat; li podríem dir definició de mediatriu bisectriu): Sigui X un espai mètric. Siguin a, b de X dos punts qualssevol i [a, b] un segment seu. Direm que [c, d] és mediatriu de [a, b] sii per a tot x que pertanyi a [c, d], d(x, a) = d(x, b)

Pregunta: quan la definició alternativa dóna el mateix concepte que el del producte escalar? A R^n? Penseu-hi!

PS: Potser no contesti als comentaris fins d’aquí uns dies (vacances!)